Estudio de una función: convexidad y concavidad

La convexidad y la concavidad de una función expresan, por decirlo así, su curvatura. A los puntos en los que una función convexa pasa a ser cóncava, o al revés, se les llama puntos de inflexión.

Qué es una función convexa y cóncava

En la gráfica suele verse a primera vista si una función es cóncava o convexa. Una función convexa parece un «valle», mientras que una cóncava parece una colina. También se dice que en una función convexa se puede echar café. A continuación tienes tres ejemplos de funciones ya conocidas.

Cómo saber si una función es convexa o cóncava

Ahora tenemos que ver cómo averiguar si una función es convexa o cóncava en un intervalo dado. Para ello necesitaremos otra figura:

La función cuadrática es convexa en todo su dominio. ¿Qué observas al mirar todas las rectas tangentes que he dibujado en la figura? Para cada recta tangente se cumple que todos los puntos de la función cuadrática están por encima de ella, salvo el único punto en el que la recta toca la gráfica. Podemos dibujar una figura parecida para la función opuesta −x²; allí la situación será la contraria y todos los puntos estarán por debajo de la tangente:

Antes de seguir con la explicación, observa la siguiente figura:

La función representada, f(x) = x², es convexa. Ya sabemos que en una función convexa todos los puntos de la gráfica están por encima de la recta tangente. Aquí se cumple: tenemos la recta tangente t y los puntos de la gráfica están por encima de ella. Ahora se trata de comprobar mediante cálculos que esos puntos están por encima de la tangente.

Tenemos un punto dado x₀ y en el punto (x₀, f(x₀)) trazamos la recta tangente a la gráfica, la recta t. En la figura, el punto de coordenadas (x₀, f(x₀)) está marcado con el punto rojo T. Además, elegimos en el eje x algún otro punto x. En la figura es el punto verde. Para x tiene que cumplirse que el punto (x, f(x)), en la figura el punto verde F, se encuentre por encima de la recta tangente t. Como la función x² es convexa en todo su dominio, sea cual sea el elemento x ∈ Dom f que tomemos, el punto (x, f(x)) tiene que estar por encima de la tangente.

¿Cómo lo escribiríamos con una fórmula? En la figura tenemos la recta tangente t. Imaginemos una función lineal t(x) cuya gráfica fuera precisamente la recta tangente t. Así, por ejemplo, el valor de la función en el punto x₀, es decir, t(x₀), sería igual a t(x₀) = f(x₀), porque en ese punto las funciones coinciden (sus gráficas tienen en ese punto un punto común).

Ahora ya podemos expresarlo con fórmulas. ¿Cómo escribiríamos que la gráfica de una función está por encima de la gráfica de otra? Sencillamente así: f(x) > t(x). Si miramos la figura: en el punto x la recta tangente está por debajo de la gráfica, porque f(x) > t(x).

Como conocemos la función f, conocemos también los valores f(x₀) y f(x). Para saber si f(x) > t(x), nos basta con hallar la longitud del segmento violeta AB. ¿Y cómo la hallamos? Pues conocemos la longitud del segmento TA, que es |x − x₀|. La longitud del segmento TB, por desgracia, no la conocemos. Sin embargo, si calculamos la derivada de la función en el punto x₀, obtenemos la pendiente de la recta tangente, es decir, la tangente del ángulo que forma la recta tangente con el semieje positivo de abscisas, y ese ángulo tiene la misma amplitud que el ángulo ATB, pues son ángulos correspondientes.

Ahora conocemos la longitud del segmento TA y la amplitud del ángulo ATB. Recordemos que la tangente expresa la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, así que se cumple:

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Conocemos $\tan (\sphericalangle ATB)$ y |TA| y queremos calcular |AB|. Despejamos por tanto |AB|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Primero transformamos la ecuación sustituyendo la longitud |TA| por |x − x₀|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

Y en lugar de $\tan (\sphericalangle ATB)$ sustituimos la derivada de la función f en el punto x₀, es decir, f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Con ello tenemos calculada la longitud del segmento AB. En la figura se cumple x > x₀ y la derivada es positiva, pero en general en lugar de |x − x₀| escribimos (x − x₀), para que salga el signo correcto. Podemos escribir, por tanto: la función f es convexa en el punto x₀ si existe algún entorno reducido O del punto x₀ en el que, para todo x de ese entorno O, se cumple la relación:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Todo el segundo miembro de la inecuación es, en realidad, igual al valor t(x). Si miras la figura, al sumar a f(x₀) la longitud del segmento AB obtienes precisamente t(x).

Cómo hallar los puntos de inflexión

Sin deducirlo, diremos que la función f(x) es convexa en el punto x₀ si se cumple f′′(x₀)>0, y cóncava si f′′(x₀)<0. Dicho con palabras, si la segunda derivada en un punto es positiva, la función es convexa en ese punto.

Igual que el extremo de una función separaba la parte decreciente de la parte creciente, los puntos de inflexión separan las partes convexas y cóncavas de la función. Así, un punto de inflexión es un punto en el que la función pasa de convexa a cóncava o al revés. Antes dijimos que, aunque la primera derivada sea nula en un punto, no tiene por qué haber allí necesariamente un extremo. Puede haber, en cambio, un punto de inflexión.

¿Qué tiene que cumplirse en un punto de inflexión? En ese punto una función convexa pasa a ser cóncava (o al revés), así que en él no puede cumplirse ni f′′(x)>0 ni f′′(x)<0. Si la función tiene segunda derivada en el punto, tiene que cumplirse por tanto f′′(x) = 0. Si f′′(x) = 0 y, al mismo tiempo, f′′′(x) ≠ 0, entonces en el punto x hay un punto de inflexión. Ejemplo:

Halla los puntos de inflexión de la función f(x) = x³. Gráfica:

Calculamos la primera, la segunda y la tercera derivada:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Vemos que f′(x) = 0 para x = 0, y también f′′(0) = 0. La segunda derivada de la función es nula en el punto 0. Al mismo tiempo, la tercera derivada es positiva, es decir, distinta de cero. La función tiene en el punto x = 0 un punto de inflexión. En la gráfica vemos que pasa de cóncava a convexa.