Étude de fonction : convexité et concavité

La convexité et la concavité d’une fonction décrivent en quelque sorte la forme bombée de sa courbe. Les points où une fonction convexe devient concave, ou inversement, s’appellent des points d’inflexion.

Qu’est-ce qu’une fonction convexe et concave

Sur la courbe, on voit souvent au premier coup d’œil si une fonction est concave ou convexe. Une fonction convexe ressemble à une cuvette, tandis qu’une fonction concave ressemble à une colline. On dit aussi qu’on peut verser du café dans une fonction convexe. Voici trois exemples de fonctions déjà connues.

Comment savoir si une fonction est convexe ou concave

Il faut maintenant voir comment savoir si une fonction est convexe ou concave sur un intervalle donné. Pour cela, nous aurons besoin d’une autre figure :

La fonction du second degré est convexe sur tout son ensemble de définition. Que remarques-tu quand tu regardes toutes les tangentes que j’ai tracées sur la figure ? Pour chaque tangente, tous les points de la courbe de la fonction sont au-dessus de cette tangente, sauf l’unique point où la tangente touche la courbe. On peut dessiner une figure semblable pour la fonction opposée −x² ; la situation y est inversée et tous les points sont au-dessous de la tangente :

Avant d’aller plus loin, observe la figure suivante :

La fonction représentée f(x) = x² est convexe. Nous savons déjà que, pour une fonction convexe, tous les points de la courbe sont au-dessus de la tangente. C’est bien le cas ici : on a la tangente t et les points de la courbe sont au-dessus d’elle. Il s’agit maintenant de montrer par le calcul que ces points sont bien au-dessus de la tangente.

Soit un point x₀ ; au point (x₀ ; f(x₀)), on trace la tangente à la courbe, la droite t. Sur la figure, le point de coordonnées (x₀ ; f(x₀)) est marqué par le point rouge T. Choisissons ensuite un autre point x sur l’axe des abscisses. Sur la figure, c’est le point vert. Pour x, il faut que le point (x ; f(x)), le point vert F sur la figure, soit au-dessus de la tangente t. Comme la fonction x² est convexe sur tout son ensemble de définition, quel que soit l’élément $x\in {\mathcal{D}}_f$ que l’on prend, le point (x ; f(x)) doit se trouver au-dessus de la tangente.

Comment l’écrire sous forme de formule ? Sur la figure, on a la tangente t. Imaginons une fonction affine t(x) dont la courbe serait précisément la tangente t. Par exemple, la valeur au point x₀, c’est-à-dire t(x₀), serait égale à t(x₀) = f(x₀), puisque les fonctions sont égales en ce point (leurs courbes ont un point commun en ce point).

Nous pouvons maintenant l’exprimer avec des formules. Comment écrire que la courbe d’une fonction se trouve au-dessus de la courbe d’une autre ? Simplement ainsi : f(x) > t(x). Si l’on regarde la figure, au point x la tangente se trouve au-dessous de la courbe, car f(x) > t(x).

Comme nous connaissons la fonction f, nous connaissons aussi les valeurs f(x₀) et f(x). Pour savoir si f(x) > t(x), il suffit donc de trouver la longueur du segment violet [AB]. Comment la trouver ? Eh bien, on connaît la longueur du segment [TA], c’est |x − x₀|. Malheureusement, on ne connaît pas la longueur du segment [TB]. Cependant, si l’on calcule la dérivée de la fonction au point x₀, on obtient le coefficient directeur de la tangente, c’est-à-dire la tangente de l’angle que forme la tangente avec le demi-axe positif des abscisses ; cet angle a la même mesure que l’angle $\widehat{ATB}$, ce sont des angles correspondants.

Nous connaissons maintenant la longueur du segment [TA] et la mesure de l’angle $\widehat{ATB}$. Rappelons que la tangente donne le rapport du côté opposé au côté adjacent, donc :

$$\tan (\widehat{ATB})=\frac{AB}{TA}$$

Nous connaissons $\tan (\widehat{ATB})$ et TA, et nous voulons calculer AB. Isolons donc AB :

$$AB=\tan (\widehat{ATB})\cdot TA$$

Transformons d’abord l’égalité en remplaçant la longueur TA par |x − x₀| :

$$AB=\tan (\widehat{ATB})\cdot |x-x_0|$$

Puis remplaçons $\tan (\widehat{ATB})$ par la dérivée de la fonction f au point x₀, c’est-à-dire f′(x₀) :

$$AB=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Nous avons ainsi calculé la longueur du segment [AB]. Sur la figure, on a x > x₀ et la dérivée est strictement positive ; en général, cependant, on écrit (x − x₀) au lieu de |x − x₀| pour obtenir le bon signe. On peut donc écrire : la fonction f est convexe en x₀ s’il existe un voisinage épointé O du point x₀ tel que, pour tout x de ce voisinage O, on ait :

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Le membre de droite de l’inégalité est en fait égal à la valeur t(x). Si tu regardes la figure, en ajoutant à f(x₀) la longueur du segment [AB], on obtient précisément t(x).

Comment trouver les points d’inflexion

Disons-le sans démonstration : la fonction f(x) est convexe en x₀ si f′′(x₀)>0, et concave si f′′(x₀)<0. En mots : si la dérivée seconde est strictement positive en un point, la fonction est convexe en ce point.

De même que l’extremum séparait la partie décroissante de la fonction de sa partie croissante, les points d’inflexion séparent les parties convexes et concaves de la fonction. Un point d’inflexion est donc un point où la fonction passe de convexe à concave ou inversement. Nous avons dit précédemment que, même si la dérivée première est nulle en un point, il n’y a pas forcément un extremum à cet endroit. Il peut y avoir un point d’inflexion.

Que doit-on avoir en un point d’inflexion ? En ce point, une fonction convexe devient concave (ou inversement), donc on ne peut avoir en ce point ni f′′(x)>0, ni f′′(x)<0. Si la fonction a une dérivée seconde en ce point, il faut donc que f′′(x) = 0. Si f′′(x) = 0 et si, en même temps, f′′′(x) ≠ 0, alors il y a un point d’inflexion en x. Exemple :

Trouve les points d’inflexion de la fonction f(x) = x³. Courbe :

Calculons les dérivées première, seconde et troisième :

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

On voit que f′(x) = 0 pour x = 0, et de même f′′(0) = 0. La dérivée seconde de la fonction est nulle en 0. En revanche, la dérivée troisième est strictement positive, donc non nulle. La fonction a un point d’inflexion en x = 0. D’après la courbe, on voit qu’elle passe de concave à convexe.