Funktionsundersøgelse: konveksitet og konkavitet

Funktionens konveksitet og konkavitet udtrykker en slags krumning af funktionen. De punkter, hvor en konveks funktion skifter til konkav eller omvendt, kalder vi vendepunkter.

Hvad er en konveks og en konkav funktion

På grafen er det ofte tydeligt ved første øjekast, om en funktion er konkav eller konveks. En konveks funktion ligner en »fordybning«, mens en konkav ligner en bakke. Man siger også, at man kan hælde kaffe i en konveks funktion. Her følger tre eksempler på allerede kendte funktioner.

Sådan afgør du, om en funktion er konveks eller konkav

Nu må vi nå frem til, hvordan man finder ud af, om en funktion på et givet interval er konveks eller konkav. Til det får vi brug for en figur mere:

Andengradsfunktionen er konveks på hele sin definitionsmængde. Hvad lægger du mærke til, når du ser på alle de tangenter, jeg har tegnet på figuren? For hver tangent gælder, at alle punkter på andengradsfunktionens graf ligger over denne tangent, bortset fra det ene punkt, som tangenten rører. Vi kan tegne en lignende figur for den modsatte funktion −x², dér er situationen omvendt, og alle punkter vil ligge under tangenten:

Før vi forklarer videre, så se på den følgende figur:

Den viste funktion f(x) = x² er konveks. Vi ved allerede, at alle punkter på grafen for en konveks funktion ligger over tangenten. Det er opfyldt her — vi har tangenten t, og grafens punkter ligger over denne tangent. Nu gælder det om at vise ved beregning, at disse punkter ligger over tangenten.

Vi har givet et punkt x₀, og i punktet (x₀, f(x₀)) tegner vi tangenten til grafen, linjen t. På figuren er punktet med koordinaterne (x₀, f(x₀)) markeret med det røde punkt T. Videre vælger vi på x-aksen et andet punkt x. På figuren er det det grønne punkt. For x skal det gælde, at punktet (x, f(x)), på figuren det grønne punkt F, ligger over tangenten t. Fordi funktionen x² er konveks på hele sin definitionsmængde, så skal det, uanset hvilket element x ∈ Dm(f) vi tager, gælde, at (x, f(x)) ligger over tangenten.

Hvordan ville vi skrive det op som en formel? På figuren har vi tangenten t. Lad os forestille os en lineær funktion t(x), hvis graf netop var tangenten/linjen t. Så ville for eksempel funktionsværdien i punktet x₀, dvs. t(x₀), være lig med t(x₀) = f(x₀), fordi funktionerne er ens i dette punkt (deres grafer har et fælles punkt dér).

Nu kan vi allerede udtrykke det med formler. Hvordan ville vi skrive, at grafen for den ene funktion ligger over grafen for en anden funktion? Ganske enkelt sådan, at f(x) > t(x). Når vi ser på figuren: I punktet x ligger tangenten under grafen, fordi f(x) > t(x).

Fordi vi kender funktionen f, kender vi også værdierne f(x₀) og f(x). For at finde ud af, om f(x) > t(x), er det derfor nok at finde længden af det lilla linjestykke AB. Og hvordan finder vi den? Jo, vi kender længden af linjestykket TA, det er |x − x₀|. Længden af linjestykket TB kender vi desværre ikke. Men hvis vi beregner funktionens differentialkvotient i punktet x₀, så finder vi tangentens hældningskoefficient, dvs. vi finder tangens til den vinkel, som tangenten danner med den positive x-akse, og denne vinkel har samme størrelse som vinklen ATB, det er ensliggende vinkler.

Nu kender vi længden af linjestykket TA og størrelsen af vinklen ATB. Vi minder om, at tangens angiver forholdet mellem den modstående og den hosliggende katete, så der gælder:

$$\tan (\mathrm{\angle }ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Vi kender tan(∠ATB) og |TA| og vil beregne |AB|. Vi isolerer derfor |AB|:

$$|AB|=\tan (\mathrm{\angle }ATB)\cdot |TA|$$

Vi omformer først ligningen, så vi for længden |TA| indsætter |x − x₀|:

$$|AB|=\tan (\mathrm{\angle }ATB)\cdot |x-x_0|$$

Og for tan(∠ATB) indsætter vi differentialkvotienten af funktionen f i punktet x₀, dvs. f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Dermed har vi beregnet længden af linjestykket AB. På figuren er x > x₀, og differentialkvotienten er positiv, men generelt skriver vi i stedet for |x − x₀| udtrykket (x − x₀), så vi får det rigtige fortegn. Vi kan således skrive: Funktionen f er konveks i punktet x₀, hvis der findes en punkteret omegn O af punktet x₀, hvor der for alle x fra denne omegn O gælder sammenhængen:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Hele højresiden af uligheden er egentlig lig med værdien af t(x). Når du ser på figuren, så får du netop t(x), når du lægger længden af linjestykket AB til f(x₀).

Sådan finder du vendepunkter

Uden udledning siger vi nu, at funktionen f(x) er konveks i punktet x₀, hvis f′′(x₀)>0, og konkav, hvis f′′(x₀)<0. Med ord, hvis den anden afledede er positiv i et punkt, så er funktionen konveks i det givne punkt.

Ligesom et ekstremum adskilte den strengt aftagende del af funktionen fra den strengt voksende del, adskiller vendepunkter de konvekse og konkave dele af funktionen. Så et vendepunkt er et punkt, hvor funktionen skifter fra konveks til konkav eller omvendt. Tidligere sagde vi, at selv om den første afledede er nul i et punkt, behøver der endnu ikke nødvendigvis at være et ekstremum. Der kan nemlig være et vendepunkt.

Hvad skal gælde for et vendepunkt? I det givne punkt skifter en konveks funktion til konkav (eller omvendt), så i det givne punkt kan hverken f′′(x)>0 eller f′′(x)<0 gælde. Hvis funktionen har en anden afledede i punktet, så må der altså gælde f′′(x) = 0. Hvis f′′(x) = 0, og hvis samtidig f′′′(x) ≠ 0, så er der et vendepunkt i punktet x. Eksempel:

Find vendepunkterne for funktionen f(x) = x³. Graf:

Vi beregner den første, anden og tredje afledede:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Vi ser, at f′(x) = 0 for x = 0, og ligeledes f′′(0) = 0. Funktionens anden afledede er nul i punktet 0. Samtidig er den tredje afledede positiv, altså forskellig fra nul. Funktionen har et vendepunkt i punktet x = 0. Af grafen ser vi, at den skifter fra konkav til konveks.