Drøfting av funksjon: konveksitet og konkavitet

Konveksitet og konkavitet til en funksjon beskriver en slags krumning av funksjonen. Punktene der en konveks funksjon endrer seg til en konkav, eller omvendt, kalles vendepunkter.

Hva er en konveks og en konkav funksjon

Fra grafen er det ofte tydelig ved første øyekast om funksjonen er konkav eller konveks. En konveks funksjon ser ut som en «dal», mens en konkav ser ut som en bakketopp. Man sier også at du kan helle kaffe i en konveks funksjon. Her følger tre eksempler på funksjoner vi allerede kjenner.

Hvordan finne ut om en funksjon er konveks eller konkav

Nå må vi finne ut hvordan vi kan avgjøre om en funksjon er konveks eller konkav på et gitt intervall. Til det trenger vi en figur til:

Andregradsfunksjonen er konveks på hele definisjonsmengden. Hva legger du merke til når du ser på alle tangentene jeg har tegnet inn på figuren? For hver tangent gjelder det at alle punkter på andregradsfunksjonen ligger over denne tangenten, bortsett fra det ene punktet som tangenten berører. Vi kan tegne en lignende figur for den motsatte funksjonen −x². Der er situasjonen omvendt, og alle punktene ligger under tangenten:

Før vi forklarer videre, se på denne figuren:

Funksjonen f(x) = x² som er vist, er konveks. Vi vet allerede at for en konveks funksjon ligger alle punktene på grafen over tangenten. Det er oppfylt her: vi har tangenten t, og punktene på grafen ligger over denne tangenten. Nå gjelder det å regne ut at punktene ligger over tangenten.

Vi har gitt et punkt x₀, og i punktet (x₀, f(x₀)) trekker vi tangenten til grafen, linjen t. På figuren er punktet med koordinatene (x₀, f(x₀)) markert med det røde punktet T. Videre velger vi et annet punkt x på x-aksen. På figuren er det det grønne punktet. For x må det gjelde at punktet (x, f(x)), på figuren det grønne punktet F, ligger over tangenten t. Siden funksjonen x² er konveks på hele definisjonsmengden, må det for hvilket som helst element x ∈ D_f gjelde at (x, f(x)) ligger over tangenten.

Hvordan kunne vi skrive dette som en formel? På figuren har vi tangenten t. La oss tenke oss en lineær funksjon t(x) som har nettopp tangenten/linjen t som graf. Funksjonsverdien i punktet x₀, altså t(x₀), ville da være lik t(x₀) = f(x₀), siden funksjonene er like i dette punktet (grafene deres har et felles punkt her).

Nå kan vi uttrykke det med formler. Hvordan skriver vi at grafen til en funksjon ligger over grafen til en annen funksjon? Enkelt: f(x) > t(x). Når vi ser på figuren: i punktet x ligger tangenten under grafen, fordi f(x) > t(x).

Siden vi kjenner funksjonen f, kjenner vi også verdiene f(x₀) og f(x). For å finne ut om f(x) > t(x) er det derfor nok å finne lengden av det fiolette linjestykket AB. Og hvordan finner vi den? Vel, vi kjenner lengden av linjestykket TA, det er |x − x₀|. Lengden av linjestykket TB kjenner vi dessverre ikke. Men hvis vi regner ut den deriverte til funksjonen i punktet x₀, får vi stigningstallet til tangenten, altså tangens til vinkelen tangenten danner med den positive delen av x-aksen, og denne vinkelen er like stor som vinkelen ATB, de er samsvarende vinkler.

Nå kjenner vi lengden av linjestykket TA og størrelsen på vinkelen ATB. Vi minner om at tangens gir forholdet mellom motstående og hosliggende katet, så det gjelder:

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Vi kjenner $\tan (\sphericalangle ATB)$ og |TA| og vil regne ut |AB|. Vi løser altså med hensyn på |AB|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Først omformer vi likningen ved å sette inn |x − x₀| for lengden |TA|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

Og for $\tan (\sphericalangle ATB)$ setter vi inn den deriverte til funksjonen f i punktet x₀, altså f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Dermed har vi regnet ut lengden av linjestykket AB. På figuren er x > x₀ og den deriverte er positiv, men generelt skriver vi (x − x₀) i stedet for |x − x₀| for å få riktig fortegn. Vi kan altså skrive: funksjonen f er konveks i punktet x₀ hvis det finnes en punktert omegn O av punktet x₀ der følgende sammenheng gjelder for alle x i denne omegnen O:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Hele høyre side av ulikheten er egentlig lik verdien t(x). Når du ser på figuren, får du nettopp t(x) hvis du legger lengden av linjestykket AB til f(x₀).

Hvordan finne vendepunkter

Vi sier uten utledning at funksjonen f(x) er konveks i punktet x₀ hvis f′′(x₀)>0, og konkav hvis f′′(x₀)<0. Med ord: hvis den andrederiverte i et punkt er positiv, er funksjonen konveks i det gitte punktet.

På samme måte som ekstremalpunkter delte den avtagende delen og den voksende delen av funksjonen, deler vendepunkter de konvekse og konkave delene av funksjonen. Et vendepunkt er altså et punkt der funksjonen endrer seg fra konveks til konkav eller omvendt. Tidligere sa vi at selv om den førstederiverte er null i et punkt, trenger det ikke nødvendigvis å være et ekstremalpunkt der. Det kan nemlig være et vendepunkt.

Hva må gjelde for et vendepunkt? I det gitte punktet endrer en konveks funksjon seg til en konkav (eller omvendt), så i punktet kan verken f′′(x)>0 eller f′′(x)<0 gjelde. Hvis funksjonen har en andrederivert i punktet, må altså f′′(x) = 0 gjelde. Hvis f′′(x) = 0 og samtidig f′′′(x) ≠ 0, er det et vendepunkt i punktet x. Eksempel:

Finn vendepunktene til funksjonen f(x) = x³. Graf:

Vi regner ut den førstederiverte, den andrederiverte og den tredjederiverte:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Vi ser at f′(x) = 0 for x = 0, og på samme måte f′′(0) = 0. Den andrederiverte til funksjonen er null i punktet 0. Samtidig er den tredjederiverte positiv, altså ikke null. Funksjonen har et vendepunkt i punktet x = 0. Fra grafen ser vi at den endrer seg fra konkav til konveks.