Funktion kulun tutkiminen: konveksisuus ja konkaavisuus

Funktion konveksisuus ja konkaavisuus kuvaavat funktion kaarevuutta. Pisteitä, joissa konveksi funktio muuttuu konkaaviksi tai päinvastoin, kutsutaan käännepisteiksi.

Mikä on konveksi ja konkaavi funktio

Kuvaajasta nähdään usein jo ensi silmäyksellä, onko funktio konkaavi vai konveksi. Konveksi funktio näyttää ”kuopalta”, kun taas konkaavi funktio näyttää kukkulalta. Sanotaan myös, että konveksiin funktioon voi kaataa kahvia. Seuraavassa on kolme esimerkkiä jo tutuista funktioista.

Miten selvitetään, onko funktio konveksi vai konkaavi

Nyt on selvitettävä, miten saadaan selville, onko funktio annetulla välillä konveksi vai konkaavi. Siihen tarvitaan vielä yksi kuva:

Toisen asteen polynomifunktio on konveksi koko määrittelyjoukossaan. Mitä huomaat, kun katsot kaikkia kuvaan piirrettyjä tangentteja? Jokaisen tangentin kohdalla pätee, että kaikki toisen asteen polynomifunktion kuvaajan pisteet ovat tangentin yläpuolella, lukuun ottamatta sitä yhtä pistettä, jossa tangentti sivuaa kuvaajaa. Samanlainen kuva voidaan piirtää vastakkaiselle funktiolle −x². Siinä tilanne on päinvastainen, ja kaikki pisteet ovat tangentin alapuolella:

Ennen kuin jatketaan selittämistä, katso seuraavaa kuvaa:

Kuvassa oleva funktio f(x) = x² on konveksi. Tiedetään jo, että konveksin funktion kuvaajan kaikki pisteet ovat tangentin yläpuolella. Tämä toteutuu myös tässä – tangentti on t, ja kuvaajan pisteet ovat tämän tangentin yläpuolella. Nyt kysytään, miten voidaan laskea, että pisteet ovat tangentin yläpuolella.

Olkoon annettu piste x₀, ja piirretään kuvaajalle pisteeseen (x₀, f(x₀)) tangentti eli suora t. Kuvassa piste, jonka koordinaatit ovat (x₀, f(x₀)), on merkitty punaisella pisteellä T. Valitaan lisäksi x-akselilta jokin toinen piste x. Kuvassa se on vihreä piste. Pisteen x kohdalla täytyy päteä, että piste (x, f(x)), joka on kuvassa vihreä piste F, on tangentin t yläpuolella. Koska funktio x² on konveksi koko määrittelyjoukossaan, jokaisen valitun määrittelyjoukon alkion x kohdalla pisteen (x, f(x)) täytyy olla tangentin yläpuolella.

Miten tämä kirjoitettaisiin kaavaksi? Kuvassa on tangentti t. Kuvitellaan lineaarinen funktio t(x), jonka kuvaaja olisi juuri tangentti eli suora t. Funktion arvo pisteessä x₀ eli t(x₀) olisi siis t(x₀) = f(x₀), koska funktiot ovat tässä pisteessä yhtä suuret (niiden kuvaajilla on tässä pisteessä yhteinen piste).

Nyt asia voidaan ilmaista kaavoilla. Miten kirjoitettaisiin, että yhden funktion kuvaaja on toisen funktion kuvaajan yläpuolella? Yksinkertaisesti niin, että f(x) > t(x). Kuvasta nähdään: pisteessä x tangentti on kuvaajan alapuolella, koska f(x) > t(x).

Koska funktio f tunnetaan, tunnetaan myös arvot f(x₀) ja f(x). Jotta saadaan selville, onko f(x) > t(x), riittää selvittää violetin janan AB pituus. Miten se saadaan? Janan TA pituus tunnetaan, se on |x − x₀|. Janan TB pituutta ei valitettavasti tunneta. Jos kuitenkin lasketaan funktion derivaatta pisteessä x₀, saadaan tangentin kulmakerroin eli sen kulman tangentti, jonka tangenttisuora muodostaa positiivisen x-akselin kanssa. Tämä kulma on yhtä suuri kuin kulma ATB, ne ovat samankohtaiset kulmat.

Nyt tunnetaan janan TA pituus ja kulman ATB suuruus. Muistetaan, että tangentti ilmoittaa vastaisen ja viereisen kateetin suhteen, joten pätee:

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Tunnetaan $\tan (\sphericalangle ATB)$ ja |TA|, ja halutaan laskea |AB|. Ratkaistaan siis |AB|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Sijoitetaan yhtälöön ensin pituuden |TA| paikalle |x − x₀|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

Ja lausekkeen $\tan (\sphericalangle ATB)$ paikalle sijoitetaan funktion f derivaatta pisteessä x₀ eli f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Näin on laskettu janan AB pituus. Kuvassa x > x₀ ja derivaatta on positiivinen, mutta yleisesti lausekkeen |x − x₀| sijasta kirjoitetaan (x − x₀), jotta etumerkki tulee oikein. Voidaan siis sanoa: funktio f on pisteessä x₀ konveksi, jos pisteellä x₀ on jokin puhkaistu ympäristö O, jossa kaikilla tämän ympäristön O pisteillä x pätee:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Koko epäyhtälön oikea puoli on itse asiassa yhtä suuri kuin arvo t(x). Kun katsot kuvaa, huomaat, että kun arvoon f(x₀) lisätään janan AB pituus, saadaan juuri t(x).

Miten käännepisteet löydetään

Todetaan ilman johtamista, että funktio f(x) on pisteessä x₀ konveksi, jos f′′(x₀)>0, ja konkaavi, jos f′′(x₀)<0. Sanoin: jos toinen derivaatta on pisteessä positiivinen, funktio on kyseisessä pisteessä konveksi.

Samalla tavalla kuin ääriarvo erotti toisistaan osan, jossa funktio vähenee, ja osan, jossa se kasvaa, käännepisteet erottavat funktion konveksit ja konkaavit osat toisistaan. Käännepiste on siis piste, jossa funktio muuttuu konveksista konkaaviksi tai päinvastoin. Aiemmin todettiin, että vaikka ensimmäinen derivaatta olisi pisteessä nolla, siinä ei välttämättä vielä ole ääriarvoa. Siinä voi nimittäin olla käännepiste.

Mikä pätee käännepisteessä? Kyseisessä pisteessä konveksi funktio muuttuu konkaaviksi (tai päinvastoin), joten siinä ei voi päteä f′′(x)>0 eikä f′′(x)<0. Jos funktiolla on pisteessä toinen derivaatta, täytyy siis päteä f′′(x) = 0. Jos f′′(x) = 0 ja samalla f′′′(x) ≠ 0, pisteessä x on käännepiste. Esimerkki:

Etsi funktion f(x) = x³ käännepisteet. Kuvaaja:

Lasketaan ensimmäinen, toinen ja kolmas derivaatta:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Nähdään, että f′(x) = 0, kun x = 0, ja samoin f′′(0) = 0. Funktion toinen derivaatta on pisteessä 0 nolla. Kolmas derivaatta on kuitenkin positiivinen eli nollasta poikkeava. Funktiolla on pisteessä x = 0 käännepiste. Kuvaajasta nähdään, että funktio muuttuu siinä konkaavista konveksiksi.