Függvényvizsgálat: konvexitás és konkavitás

A függvény konvexitása és konkavitása afféle domborúságot jelent. Azokat a pontokat, ahol a konvex függvény konkávvá változik, vagy fordítva, inflexiós pontoknak nevezzük.

Mi a konvex és a konkáv függvény

A grafikonról gyakran első pillantásra látszik, hogy a függvény konkáv-e vagy konvex. A konvex függvény úgy néz ki, mint egy „gödör”, a konkáv pedig mint egy domb. Azt is mondják, hogy a konvex függvénybe kávét lehet tölteni. Következik három példa már ismert függvényekre.

Hogyan döntsük el, hogy a függvény konvex vagy konkáv

Most arra kell rájönnünk, hogyan állapítjuk meg, hogy a függvény egy adott intervallumon konvex vagy konkáv. Ehhez egy újabb ábrára lesz szükségünk:

A másodfokú függvény az egész értelmezési tartományán konvex. Mit veszel észre, ha megnézed az ábrán berajzolt összes érintőt? Minden érintőre igaz, hogy a másodfokú függvény összes pontja az érintő felett van, kivéve azt az egyetlen pontot, amelyet az érintő érint. Hasonló ábrát rajzolhatunk az ellentétes függvényre, a −x²-re, ott fordított a helyzet, és az összes pont az érintő alatt lesz:

A további magyarázat előtt nézd meg a következő ábrát:

Az ábrázolt f(x) = x² függvény konvex. Már tudjuk, hogy konvex függvénynél a grafikon összes pontja az érintő felett van. Ez itt teljesül – van egy t érintőnk, és a grafikon pontjai az érintő felett vannak. Most arról van szó, hogyan számítsuk ki, hogy ezek a pontok az érintő felett vannak.

Adott az x₀ pont, és az (x₀; f(x₀)) pontban érintőt húzunk a grafikonhoz, ez a t egyenes. Az ábrán az (x₀; f(x₀)) koordinátájú pontot piros T pont jelöli. Ezután az x tengelyen választunk egy másik x pontot. Az ábrán ez a zöld pont. Az x-re teljesülnie kell annak, hogy az (x; f(x)) pont, az ábrán a zöld F pont, a t érintő felett van. Mivel az x² függvény az egész értelmezési tartományán konvex, bármilyen x ∈ D_f elemet veszünk, az (x; f(x)) pontnak az érintő felett kell lennie.

Hogyan írnánk ezt fel képletben? Az ábrán ott a t érintő. Képzeljünk el egy t(x) lineáris függvényt, amelynek grafikonja éppen a t érintő/egyenes. Így például a függvényérték az x₀ pontban, azaz t(x₀), egyenlő lenne: t(x₀) = f(x₀), mert ebben a pontban a függvények egyenlők (a grafikonjaiknak ebben a pontban közös pontjuk van).

Most már kifejezhetjük képletekkel. Hogyan írnánk fel, hogy az egyik függvény grafikonja a másik függvény grafikonja felett van? Egyszerűen úgy, hogy f(x) > t(x). Ha megnézzük az ábrát: az x pontban az érintő a grafikon alatt van, mert f(x) > t(x).

Mivel ismerjük az f függvényt, ismerjük az f(x₀) és az f(x) értékeket is. Hogy tehát megtudjuk, igaz-e, hogy f(x) > t(x), elég megállapítanunk a lila AB szakasz hosszát. És hogyan? Nos, a TA szakasz hosszát ismerjük, ez |x − x₀|. A TB szakasz hosszát viszont sajnos nem. Ha azonban kiszámítjuk a függvény deriváltját az x₀ pontban, megkapjuk az érintő meredekségét, azaz az érintőnek az x tengely pozitív felével bezárt szögének tangensét, és ez a szög ugyanakkora, mint az ATB szög, mert egyállású szögek.

Most már ismerjük a TA szakasz hosszát és az ATB szög nagyságát. Emlékeztetőül, a tangens a szöggel szemközti és a szög melletti befogó arányát adja meg, tehát:

$$\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Ismerjük a $\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)$-t és a |TA|-t, és ki akarjuk számítani az |AB|-t. Kifejezzük tehát az |AB|-t:

$$|AB|=\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Az egyenletet először úgy alakítjuk át, hogy a |TA| hossz helyére |x − x₀|-t helyettesítünk:

$$|AB|=\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

A $\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)$ helyére pedig az f függvény deriváltját helyettesítjük az x₀ pontban, azaz f′(x₀)-t:

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Ezzel megvan az AB szakasz hossza. Az ábrán x > x₀ és a derivált pozitív, általánosan azonban |x − x₀| helyett (x − x₀)-t írunk, hogy az előjel helyes legyen. Azt mondhatjuk tehát: az f függvény az x₀ pontban konvex, ha létezik az x₀ pontnak olyan O pontozott környezete, amelyben ennek az O környezetnek minden x pontjára teljesül az összefüggés:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Az egyenlőtlenség egész jobb oldala tulajdonképpen a t(x) értékével egyenlő. Ha megnézed az ábrát, ha az f(x₀)-hoz hozzáadod az AB szakasz hosszát, éppen a t(x)-et kapod.

Hogyan találjuk meg az inflexiós pontokat

Levezetés nélkül kimondjuk, hogy az f(x) függvény az x₀ pontban konvex, ha f′′(x₀)>0, és konkáv, ha f′′(x₀)<0. Szavakkal: ha a második derivált a pontban pozitív, akkor a függvény az adott pontban konvex.

Ahogy a szélsőérték elválasztotta a függvény szigorúan monoton csökkenő és szigorúan monoton növekvő szakaszát, az inflexiós pontok a függvény konvex és konkáv részeit választják el. Az inflexiós pont tehát az a pont, ahol a függvény konvexből konkávvá változik, vagy fordítva. Korábban azt mondtuk, hogy ha az első derivált egy pontban nulla, még nem feltétlenül van ott szélsőérték. Lehet ott ugyanis inflexiós pont.

Minek kell teljesülnie az inflexiós pontban? Az adott pontban a konvex függvény konkávvá változik (vagy fordítva), ezért az adott pontban sem f′′(x)>0, sem f′′(x)<0 nem teljesülhet. Ha a függvénynek van második deriváltja a pontban, akkor tehát f′′(x) = 0 kell, hogy teljesüljön. Ha f′′(x) = 0, és egyúttal f′′′(x) ≠ 0, akkor az x pontban inflexiós pont van. Példa:

Keressük meg az f(x) = x³ függvény inflexiós pontjait. A grafikon:

Kiszámítjuk az első, a második és a harmadik deriváltat:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Látjuk, hogy f′(x) = 0, ha x = 0, és ugyanígy f′′(0) = 0. A függvény második deriváltja a 0 pontban nulla. A harmadik derivált ugyanakkor pozitív, tehát nem nulla. A függvénynek az x = 0 pontban inflexiós pontja van. A grafikonról látjuk, hogy konkávból konvexbe vált.