Studiul funcției: convexitate și concavitate

Convexitatea și concavitatea funcției exprimă un fel de curbură a funcției. Punctele în care o funcție convexă se schimbă în concavă sau invers se numesc puncte de inflexiune.

Ce este o funcție convexă și o funcție concavă

Din grafic este adesea evident la prima vedere dacă funcția este concavă sau convexă. Funcția convexă arată ca o „căldare”, în timp ce funcția concavă arată ca un deal. Se mai spune că într-o funcție convexă poți turna cafea. Urmează trei exemple de funcții deja cunoscute.

Cum aflăm dacă funcția este convexă sau concavă

Acum trebuie să vedem cum aflăm dacă funcția este pe un interval dat convexă sau concavă. Pentru asta avem nevoie de o altă figură:

Funcția de gradul al doilea este convexă pe tot domeniul ei de definiție. Ce observi când te uiți la toate tangentele pe care le-am reprezentat în figură? Pentru fiecare tangentă este valabil că toate punctele funcției de gradul al doilea se află deasupra acestei tangente, cu excepția singurului punct în care tangenta o atinge. Putem desena o figură asemănătoare pentru funcția opusă −x², acolo situația va fi inversă și toate punctele se vor afla sub tangentă:

Înainte de a explica mai departe, privește figura următoare:

Funcția reprezentată f(x) = x² este convexă. Știm deja că la o funcție convexă toate punctele graficului se află deasupra tangentei. Aici condiția este îndeplinită – avem tangenta t și punctele graficului se află deasupra acestei tangente. Acum este vorba de cum calculăm că punctele se află deasupra tangentei.

Fie dat un punct x₀, iar în punctul (x₀, f(x₀)) ducem la grafic tangenta, dreapta t. În figură, punctul de coordonate (x₀, f(x₀)) este marcat cu punctul roșu T. Apoi alegem pe axa Ox un alt punct x. În figură este punctul verde. Pentru x trebuie să fie valabil că punctul (x, f(x)), în figură punctul verde F, se află deasupra tangentei t. Deoarece funcția x² este convexă pe tot domeniul ei de definiție, oricare element x ∈ D_f am lua, trebuie să fie valabil că (x, f(x)) se află deasupra tangentei.

Cum am scrie asta într-o formulă? În figură avem tangenta t. Să ne imaginăm o funcție de gradul întâi t(x), al cărei grafic ar fi chiar tangenta/dreapta t. De exemplu, valoarea funcției în punctul x₀, adică t(x₀), ar fi egală cu t(x₀) = f(x₀), pentru că în acest punct funcțiile sunt egale (graficele lor au în acest punct un punct comun).

Acum o putem exprima prin formule. Cum am scrie că graficul unei funcții se află deasupra graficului altei funcții? Simplu: f(x) > t(x). Dacă ne uităm la figură: în punctul x tangenta se află sub grafic, pentru că f(x) > t(x).

Deoarece cunoaștem funcția f, cunoaștem și valorile f(x₀) și f(x). Ca să aflăm dacă f(x) > t(x), ne ajunge să aflăm lungimea segmentului violet AB. Și cum o aflăm? Ei bine, cunoaștem lungimea segmentului TA, aceasta este |x − x₀|. Lungimea segmentului TB nu o cunoaștem, din păcate. Totuși, dacă calculăm derivata funcției în punctul x₀, aflăm panta tangentei, adică aflăm tangenta unghiului pe care îl face tangenta cu semiaxa pozitivă Ox, iar acest unghi are aceeași măsură ca unghiul ATB, sunt unghiuri corespondente.

Acum cunoaștem lungimea segmentului TA și măsura unghiului ATB. Amintim că tangenta dă raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată, deci este valabil:

$$\mathrm{tg}(\mathrm{\angle }ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Noi cunoaștem tg(∠ATB) și |TA| și vrem să calculăm |AB|. Exprimăm deci |AB|:

$$|AB|=\mathrm{tg}(\mathrm{\angle }ATB)\cdot |TA|$$

Ecuația o modificăm mai întâi înlocuind lungimea |TA| cu |x − x₀|:

$$|AB|=\mathrm{tg}(\mathrm{\angle }ATB)\cdot |x-x_0|$$

Iar în locul lui tg(∠ATB) punem derivata funcției f în punctul x₀, adică f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Astfel am calculat lungimea segmentului AB. În figură x > x₀ și derivata este pozitivă, dar în general, în loc de |x − x₀|, scriem (x − x₀), ca să iasă semnul corect. Putem scrie deci: funcția f este în punctul x₀ convexă dacă există o vecinătate redusă O a punctului x₀ astfel încât pentru orice x din această vecinătate O este valabilă relația:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Întreg membrul drept al inecuației este de fapt egal cu valoarea t(x). Dacă te uiți la figură, când la f(x₀) adaugi lungimea segmentului AB, obții chiar t(x).

Cum găsim punctele de inflexiune

Spunem acum fără demonstrație că funcția f(x) este în punctul x₀ convexă dacă f′′(x₀)>0 și concavă dacă f′′(x₀)<0. Pe scurt, dacă derivata a doua în punct este pozitivă, atunci funcția este în punctul dat convexă.

La fel cum extremul funcției separa partea strict descrescătoare a funcției de partea strict crescătoare, punctele de inflexiune separă părțile convexe și concave ale funcției. Deci punctul de inflexiune este un punct în care funcția se schimbă din convexă în concavă sau invers. Mai devreme am spus că, chiar dacă prima derivată într-un punct este nulă, acolo nu este neapărat un extrem. Acolo poate fi, de fapt, un punct de inflexiune.

Ce trebuie să fie valabil pentru un punct de inflexiune? În punctul dat o funcție convexă se schimbă în concavă (sau invers), deci în punctul dat nu poate fi valabil nici f′′(x)>0, nici f′′(x)<0. Dacă funcția are în punct derivata a doua, trebuie deci să fie valabil f′′(x) = 0. Dacă f′′(x) = 0 și, în același timp, f′′′(x) ≠ 0, atunci în punctul x este un punct de inflexiune. Exemplu:

Află punctele de inflexiune ale funcției f(x) = x³. Graficul:

Calculăm prima, a doua și a treia derivată:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Vedem că f′(x) = 0 pentru x = 0, la fel și f′′(0) = 0. Derivata a doua a funcției este în punctul 0 nulă. În același timp, derivata a treia este pozitivă, deci nenulă. Funcția are în punctul x = 0 un punct de inflexiune. Din grafic vedem că se schimbă din concavă în convexă.