Functieonderzoek: convexiteit en concaviteit

Convexiteit en concaviteit van een functie geven een soort welving van de functie aan. De punten waarin een convexe functie in een concave verandert of andersom, heten buigpunten.

Wat is een convexe en concave functie

Aan de grafiek is op het eerste gezicht vaak duidelijk of een functie concaaf of convex is. Een convexe functie ziet eruit als een “dal”, terwijl een concave functie eruitziet als een heuvel. Er wordt ook gezegd dat je koffie in een convexe functie kunt gieten. In Nederlandse schoolboeken wordt hetzelfde vaak met de helling beschreven: bij een convexe functie neemt de helling toe (de grafiek is toenemend stijgend of afnemend dalend), bij een concave functie neemt de helling af (afnemend stijgend of toenemend dalend). Hierna volgen drie voorbeelden van al bekende functies.

Hoe bepaal je of een functie convex of concaaf is

Nu moeten we erachter komen hoe we bepalen of een functie op een gegeven interval convex of concaaf is. Daarvoor hebben we nog een plaatje nodig:

De kwadratische functie is op haar hele domein convex. Wat valt je op als je naar alle raaklijnen kijkt die ik in het plaatje heb getekend? Voor elke raaklijn geldt dat alle punten van de kwadratische functie boven deze raaklijn liggen, met uitzondering van dat ene punt dat de raaklijn raakt. We kunnen een soortgelijk plaatje tekenen voor de tegengestelde functie −x², daar is de situatie omgekeerd en liggen alle punten onder de raaklijn:

Bekijk vóór de verdere uitleg het volgende plaatje:

De getekende functie f(x) = x² is convex. We weten al dat bij een convexe functie alle punten van de grafiek boven de raaklijn liggen. Dat is hier het geval — we hebben de raaklijn t en de punten van de grafiek liggen boven deze raaklijn. Nu gaat het erom hoe we kunnen berekenen dat die punten boven de raaklijn liggen.

We hebben een gegeven punt x₀ en in het punt (x₀, f(x₀)) trekken we de raaklijn aan de grafiek, de lijn t. In het plaatje is het punt met coördinaten (x₀, f(x₀)) aangegeven met het rode punt T. Verder kiezen we op de x-as een ander punt x. In het plaatje is dat het groene punt. Voor x moet gelden dat het punt (x, f(x)), in het plaatje het groene punt F, boven de raaklijn t ligt. Omdat de functie x² op haar hele domein convex is, moet voor elk element x ∈ D_f dat we nemen gelden dat (x, f(x)) boven de raaklijn ligt.

Hoe zouden we dat in een formule opschrijven? In het plaatje hebben we de raaklijn t. Stel je een lineaire functie t(x) voor waarvan de grafiek precies de raaklijn t is. De functiewaarde in het punt x₀, dus t(x₀), zou dan gelijk zijn aan t(x₀) = f(x₀), omdat de functies in dit punt gelijk zijn (hun grafieken hebben in dit punt een gemeenschappelijk punt).

Nu kunnen we het al met formules uitdrukken. Hoe schrijven we op dat de grafiek van de ene functie boven de grafiek van de andere functie ligt? Eenvoudig zo: f(x) > t(x). Als we naar het plaatje kijken: in het punt x ligt de raaklijn onder de grafiek, want f(x) > t(x).

Omdat we de functie f kennen, kennen we ook de waarden f(x₀) en f(x). Om te weten of f(x) > t(x), volstaat het dus de lengte van het paarse lijnstuk AB te bepalen. En hoe doen we dat? Nou, we kennen de lengte van het lijnstuk TA, dat is |x − x₀|. De lengte van het lijnstuk TB kennen we helaas niet. Maar als we de afgeleide van de functie in het punt x₀ berekenen, dan weten we de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, dus de tangens van de hoek die de raaklijn maakt met de positieve x-as, en die hoek is even groot als de hoek ATB, het zijn F-hoeken.

Nu kennen we de lengte van het lijnstuk TA en de grootte van de hoek ATB. We herinneren eraan dat de tangens de verhouding van de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde aangeeft, dus er geldt:

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Wij kennen $\tan (\sphericalangle ATB)$ en |TA| en willen |AB| berekenen. We maken dus |AB| vrij:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

We herschrijven de vergelijking eerst door voor de lengte |TA| de uitdrukking |x − x₀| in te vullen:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

En voor $\tan (\sphericalangle ATB)$ vullen we de afgeleide van de functie f in het punt x₀ in, dus f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Daarmee hebben we de lengte van het lijnstuk AB berekend. In het plaatje is x > x₀ en de afgeleide is positief, maar in het algemeen schrijven we in plaats van |x − x₀| liever (x − x₀), zodat het teken goed uitkomt. We kunnen dus schrijven: de functie f is in het punt x₀ convex als er een gepuncteerde omgeving O van het punt x₀ bestaat waarin voor alle x uit deze omgeving O de relatie geldt:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

De hele rechterkant van de ongelijkheid is eigenlijk gelijk aan de waarde t(x). Als je naar het plaatje kijkt, krijg je precies t(x) als je bij f(x₀) de lengte van het lijnstuk AB optelt.

Hoe vind je buigpunten

Zonder afleiding zeggen we dat de functie f(x) in het punt x₀ convex is als geldt f′′(x₀)>0, en concaaf als f′′(x₀)<0. In woorden: als de tweede afgeleide in een punt positief is, dan is de functie in het gegeven punt convex.

Net zoals een extreem het dalende deel van de functie en het stijgende deel van de functie scheidde, scheiden buigpunten de convexe en de concave delen van de functie. Een buigpunt is dus een punt waar de functie van convex naar concaaf verandert of andersom. Eerder zeiden we dat er niet per se een extreem hoeft te zijn als de eerste afgeleide in een punt nul is. Er kan namelijk een buigpunt zitten.

Wat moet er gelden voor een buigpunt? In het gegeven punt verandert een convexe functie in een concave (of andersom), dus in het gegeven punt kan noch f′′(x)>0, noch f′′(x)<0 gelden. Als de functie in het punt een tweede afgeleide heeft, moet dus gelden f′′(x) = 0. Als f′′(x) = 0 en als tegelijk f′′′(x) ≠ 0, dan zit er in het punt x een buigpunt. Voorbeeld:

Bepaal de buigpunten van de functie f(x) = x³. De grafiek:

We berekenen de eerste, de tweede en de derde afgeleide:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

We zien dat f′(x) = 0 voor x = 0, en ook f′′(0) = 0. De tweede afgeleide van de functie is in het punt 0 nul. De derde afgeleide is daarbij positief, dus niet nul. De functie heeft in het punt x = 0 een buigpunt. Uit de grafiek zien we dat ze van concaaf naar convex verandert.