Μελέτη συνάρτησης: κυρτότητα και κοιλότητα

Η κυρτότητα και η κοιλότητα μιας συνάρτησης δείχνουν κατά κάποιον τρόπο το «φούσκωμα» της συνάρτησης. Τα σημεία στα οποία μια κυρτή συνάρτηση γίνεται κοίλη ή αντίστροφα ονομάζονται σημεία καμπής.

Τι είναι κυρτή και κοίλη συνάρτηση

Από τη γραφική παράσταση είναι συνήθως φανερό με την πρώτη ματιά αν η συνάρτηση είναι κοίλη ή κυρτή. Η κυρτή συνάρτηση μοιάζει με «λακκούβα», ενώ η κοίλη με λόφο. Λέγεται επίσης ότι σε μια κυρτή συνάρτηση μπορείς να ρίξεις καφέ. Ακολουθούν τρία παραδείγματα γνωστών ήδη συναρτήσεων.

Πώς να βρεις αν μια συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη

Τώρα πρέπει να φτάσουμε στο πώς θα βρούμε αν η συνάρτηση σε ένα διάστημα είναι κυρτή ή κοίλη. Για αυτό χρειαζόμαστε μια ακόμα εικόνα:

Η δευτεροβάθμια συνάρτηση είναι κυρτή σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της. Τι παρατηρείς, όταν κοιτάς όλες τις εφαπτομένες που έχω σχεδιάσει στην εικόνα; Για κάθε εφαπτομένη ισχύει ότι όλα τα σημεία της δευτεροβάθμιας συνάρτησης βρίσκονται πάνω από αυτή την εφαπτομένη, εκτός από το μοναδικό σημείο επαφής. Μπορούμε να σχεδιάσουμε παρόμοια εικόνα για την αντίθετη συνάρτηση −x², όπου η κατάσταση θα είναι αντίστροφη και όλα τα σημεία θα βρίσκονται κάτω από την εφαπτομένη:

Πριν από την επόμενη εξήγηση δες την ακόλουθη εικόνα:

Η συνάρτηση που απεικονίζεται, f(x) = x², είναι κυρτή. Ξέρουμε ήδη ότι σε μια κυρτή συνάρτηση όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης βρίσκονται πάνω από την εφαπτομένη. Αυτό ισχύει εδώ – έχουμε την εφαπτομένη t και τα σημεία της γραφικής παράστασης βρίσκονται πάνω από αυτή την εφαπτομένη. Το ζήτημα τώρα είναι πώς θα υπολογίσουμε ότι αυτά τα σημεία είναι πάνω από την εφαπτομένη.

Έχουμε ένα δεδομένο σημείο x₀ και στο σημείο (x₀, f(x₀)) φέρνουμε εφαπτομένη στη γραφική παράσταση, την ευθεία t. Στην εικόνα το σημείο με συντεταγμένες (x₀, f(x₀)) σημειώνεται με το κόκκινο σημείο T. Στη συνέχεια επιλέγουμε στον άξονα x'x κάποιο άλλο σημείο x. Στην εικόνα είναι το πράσινο σημείο. Για το x πρέπει να ισχύει ότι το σημείο (x, f(x)), στην εικόνα το πράσινο σημείο F, βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη t. Επειδή η συνάρτηση x² είναι κυρτή σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της, όποιο στοιχείο x ∈ D_f κι αν πάρουμε, πρέπει το (x, f(x)) να βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη.

Πώς θα το γράφαμε με έναν τύπο; Στην εικόνα έχουμε την εφαπτομένη t. Ας φανταστούμε μια γραμμική συνάρτηση t(x), της οποίας η γραφική παράσταση θα ήταν ακριβώς η εφαπτομένη/ευθεία t. Έτσι, για παράδειγμα, η τιμή της συνάρτησης στο σημείο x₀, δηλαδή το t(x₀), θα ήταν ίση με t(x₀) = f(x₀), επειδή σε αυτό το σημείο οι συναρτήσεις είναι ίσες (οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν σε αυτό το σημείο κοινό σημείο).

Τώρα μπορούμε να το εκφράσουμε με τύπους. Πώς θα γράφαμε ότι η γραφική παράσταση της μιας συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της άλλης; Απλά ως f(x) > t(x). Αν κοιτάξουμε την εικόνα: στο σημείο x η εφαπτομένη βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση, επειδή f(x) > t(x).

Επειδή γνωρίζουμε τη συνάρτηση f, γνωρίζουμε και τις τιμές f(x₀) και f(x). Για να βρούμε λοιπόν αν f(x) > t(x), αρκεί να βρούμε το μήκος του μωβ ευθύγραμμου τμήματος AB. Και πώς θα το βρούμε; Ξέρουμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος TA, είναι |x − x₀|. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος TB όμως δυστυχώς δεν το ξέρουμε. Ωστόσο, αν υπολογίσουμε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο x₀, τότε βρίσκουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης, δηλαδή την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον θετικό ημιάξονα Ox, και αυτή η γωνία έχει το ίδιο μέτρο με τη γωνία ATB, είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες.

Τώρα ξέρουμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος TA και το μέτρο της γωνίας ATB. Θυμίζουμε ότι η εφαπτομένη εκφράζει τον λόγο της απέναντι προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά, οπότε ισχύει:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Ξέρουμε το $\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\sphericalangle ATB)$ και το |TA| και θέλουμε να υπολογίσουμε το |AB|. Λύνουμε λοιπόν ως προς |AB|:

$$|AB|=\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Την ισότητα την τροποποιούμε πρώτα αντικαθιστώντας το μήκος |TA| με |x − x₀|:

$$|AB|=\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

Και στη θέση του $\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }(\sphericalangle ATB)$ βάζουμε την παράγωγο της συνάρτησης f στο σημείο x₀, δηλαδή το f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Έτσι έχουμε υπολογίσει το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος AB. Στην εικόνα είναι x > x₀ και η παράγωγος είναι θετική, γενικά όμως αντί για |x − x₀| γράφουμε (x − x₀), ώστε να βγει το σωστό πρόσημο. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε: η συνάρτηση f είναι στο σημείο x₀ κυρτή, αν υπάρχει κάποια περιοχή O του σημείου x₀, χωρίς το ίδιο το σημείο, τέτοια ώστε για κάθε x από αυτή την περιοχή O να ισχύει η σχέση:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Ολόκληρο το δεξιό μέλος της ανίσωσης είναι ουσιαστικά ίσο με την τιμή t(x). Αν κοιτάξεις την εικόνα, όταν στο f(x₀) προσθέσεις το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος AB, παίρνεις ακριβώς το t(x).

Πώς να βρεις σημεία καμπής

Χωρίς απόδειξη λέμε ότι η συνάρτηση f(x) είναι στο σημείο x₀ κυρτή, αν ισχύει f′′(x₀)>0, και κοίλη, αν f′′(x₀)<0. Με λόγια, αν η δεύτερη παράγωγος στο σημείο είναι θετική, τότε η συνάρτηση είναι σε αυτό το σημείο κυρτή.

Όπως το ακρότατο της συνάρτησης χώριζε το γνησίως φθίνον μέρος της συνάρτησης από το γνησίως αύξον μέρος, έτσι τα σημεία καμπής χωρίζουν τα κυρτά και τα κοίλα μέρη της συνάρτησης. Άρα σημείο καμπής είναι το σημείο στο οποίο η συνάρτηση αλλάζει από κυρτή σε κοίλη ή αντίστροφα. Νωρίτερα είπαμε ότι, ακόμα και αν η πρώτη παράγωγος σε ένα σημείο είναι μηδέν, δεν υπάρχει εκεί απαραίτητα ακρότατο. Μπορεί να υπάρχει εκεί σημείο καμπής.

Τι πρέπει να ισχύει για ένα σημείο καμπής; Στο συγκεκριμένο σημείο η κυρτή συνάρτηση γίνεται κοίλη (ή αντίστροφα), οπότε στο σημείο αυτό δεν μπορεί να ισχύει ούτε f′′(x)>0 ούτε f′′(x)<0. Αν η συνάρτηση έχει στο σημείο δεύτερη παράγωγο, πρέπει λοιπόν να ισχύει f′′(x) = 0. Αν f′′(x) = 0 και ταυτόχρονα f′′′(x) ≠ 0, τότε στο σημείο x υπάρχει σημείο καμπής. Παράδειγμα:

Βρες τα σημεία καμπής της συνάρτησης f(x) = x³. Γραφική παράσταση:

Υπολογίζουμε την πρώτη, τη δεύτερη και την τρίτη παράγωγο:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Βλέπουμε ότι f′(x) = 0 για x = 0 και το ίδιο f′′(0) = 0. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης είναι στο σημείο 0 μηδέν. Ταυτόχρονα η τρίτη παράγωγος είναι θετική, άρα μη μηδενική. Η συνάρτηση έχει στο σημείο x = 0 σημείο καμπής. Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι αλλάζει από κοίλη σε κυρτή.