Estudo do gráfico: convexidade e concavidade

A convexidade e a concavidade de uma função representam uma espécie de curvatura da função. Os pontos em que uma função convexa muda para côncava, ou o contrário, se chamam pontos de inflexão.

O que são funções convexas e côncavas

Pelo gráfico costuma ser evidente à primeira vista se a função é côncava ou convexa. Aqui adotamos a seguinte convenção: a função convexa tem a concavidade voltada para cima (f'' > 0) e parece uma “cuia”, enquanto a função côncava tem a concavidade voltada para baixo (f'' < 0) e parece um morro. (Atenção: em alguns livros os nomes “convexa” e “côncava” são usados no sentido contrário; por isso, neste artigo sempre indicamos o sinal da segunda derivada.) Costuma-se dizer também que em uma função convexa dá para despejar café. Seguem três exemplos de funções já conhecidas.

Como descobrir se a função é convexa ou côncava

Agora precisamos ver como descobrir se a função é convexa ou côncava em um intervalo dado. Para isso vamos precisar de mais uma figura:

A função quadrática é convexa em todo o seu domínio. O que você nota quando olha para todas as retas tangentes que representei na figura? Para cada reta tangente vale que todos os pontos da função quadrática estão acima dessa reta tangente, com exceção daquele único ponto que a tangente toca. Podemos desenhar uma figura semelhante para a função oposta −x²; nela a situação será inversa e todos os pontos ficarão abaixo da reta tangente:

Antes de continuar a explicação, observe a figura seguinte:

A função representada f(x) = x² é convexa. Já sabemos que, em uma função convexa, todos os pontos do gráfico estão acima da reta tangente. Isso se cumpre aqui — temos a reta tangente t, e os pontos do gráfico estão acima dessa reta tangente. Agora a questão é como calcular que esses pontos estão acima da reta tangente.

É dado um ponto x₀, e no ponto (x₀, f(x₀)) traçamos a reta tangente ao gráfico, a reta t. Na figura, o ponto de coordenadas (x₀, f(x₀)) está marcado pelo ponto vermelho T. Além disso, escolhemos no eixo x algum outro ponto x. Na figura é o ponto verde. Para x deve valer que o ponto (x, f(x)), na figura o ponto verde F, está acima da reta tangente t. Como a função x² é convexa em todo o seu domínio, então, qualquer elemento x ∈ D(f) que tomemos, deve valer que (x, f(x)) está acima da reta tangente.

Como escreveríamos isso em uma fórmula? Na figura temos a reta tangente t. Imaginemos uma função afim t(x) cujo gráfico seria justamente a tangente/reta t. Assim, por exemplo, o valor da função no ponto x₀, isto é, t(x₀), seria igual a t(x₀) = f(x₀), porque nesse ponto as funções são iguais (seus gráficos têm nesse ponto um ponto em comum).

Agora já podemos expressar isso com fórmulas. Como escreveríamos que o gráfico de uma função está acima do gráfico de outra função? Simplesmente assim: f(x) > t(x). Se olharmos para a figura: no ponto x a reta tangente está abaixo do gráfico, porque f(x) > t(x).

Como conhecemos a função f, conhecemos também os valores f(x₀) e f(x). Para descobrir se f(x) > t(x), basta, portanto, descobrirmos o comprimento do segmento roxo AB. E como o descobrimos? Bem, conhecemos o comprimento do segmento TA, que é |x − x₀|. Infelizmente, porém, não conhecemos o comprimento do segmento TB. No entanto, se calcularmos a derivada da função no ponto x₀, descobrimos o coeficiente angular da reta tangente, isto é, descobrimos a tangente do ângulo que a reta tangente forma com o semieixo positivo x, e esse ângulo tem a mesma medida que o ângulo ATB, são ângulos correspondentes.

Agora conhecemos o comprimento do segmento TA e a medida do ângulo ATB. Lembramos que a tangente indica a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, então vale:

$$\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Nós conhecemos $\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)$ e |TA| e queremos calcular |AB|. Isolamos, então, |AB|:

$$|AB|=\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Primeiro transformamos a equação substituindo o comprimento |TA| por |x − x₀|:

$$|AB|=\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

E no lugar de $\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)$ substituímos a derivada da função f no ponto x₀, isto é, f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Com isso teríamos calculado o comprimento do segmento AB. Na figura, x > x₀ e a derivada é positiva, mas em geral, no lugar de |x − x₀|, escrevemos (x − x₀), para que resulte o sinal correto. Podemos, então, escrever: a função f é convexa no ponto x₀ se existe alguma vizinhança perfurada O do ponto x₀ em que, para todos os x dessa vizinhança O, vale a relação:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

O lado direito inteiro da inequação é, na verdade, igual ao valor de t(x). Olhando para a figura, você vê que, somando a f(x₀) o comprimento do segmento AB, obtém justamente t(x).

Como encontrar os pontos de inflexão

Sem mais deduções, dizemos que a função f(x) é convexa no ponto x₀ se vale f′′(x₀)>0, e côncava se f′′(x₀)<0. Em palavras, se a segunda derivada no ponto é positiva, então a função é convexa no ponto dado.

Assim como o extremo da função separava a parte decrescente da parte crescente, os pontos de inflexão separam as partes convexas e côncavas da função. Assim, o ponto de inflexão é o ponto em que a função muda de convexa para côncava ou vice-versa. Antes dissemos que, mesmo que a primeira derivada em um ponto seja nula, ali ainda não precisa haver necessariamente um extremo. Ali pode haver, na verdade, um ponto de inflexão.

O que deve valer para um ponto de inflexão? No ponto dado a função convexa muda para côncava (ou o contrário), de modo que no ponto dado não pode valer nem f′′(x)>0, nem f′′(x)<0. Se a função tem no ponto a segunda derivada, deve valer, portanto, f′′(x) = 0. Se f′′(x) = 0 e se, ao mesmo tempo, f′′′(x) ≠ 0, então no ponto x há um ponto de inflexão. Exemplo:

Encontre os pontos de inflexão da função f(x) = x³. Gráfico:

Calculamos a primeira, a segunda e a terceira derivada:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Vemos que f′(x) = 0 para x = 0, e também f′′(0) = 0. A segunda derivada da função é nula no ponto 0. E a terceira derivada é positiva, isto é, não nula. A função tem no ponto x = 0 um ponto de inflexão. Pelo gráfico vemos que ela muda de côncava para convexa.