Funktionsundersökning: konvexitet och konkavitet

Konvexitet och konkavitet beskriver hur en funktion kröker sig. Punkter där en konvex funktion övergår i en konkav (eller tvärtom) kallas inflexionspunkter.

Vad är en konvex och en konkav funktion

I grafen syns det oftast direkt om en funktion är konkav eller konvex. En konvex funktion ser ut som en skål, medan en konkav funktion ser ut som en kulle. Man brukar också säga att du kan hälla kaffe i en konvex funktion. Här följer tre exempel på funktioner som du redan känner till.

Hur avgör man om en funktion är konvex eller konkav

Nu ska vi komma fram till hur vi avgör om en funktion är konvex eller konkav på ett visst intervall. Då behöver vi ytterligare en figur:

Andragradsfunktionen är konvex i hela sin definitionsmängd. Vad ser du när du tittar på alla tangenter som jag ritade in i figuren? För varje tangent gäller att alla punkter på andragradsfunktionens graf ligger ovanför tangenten, förutom den enda punkten där tangenten tangerar grafen. Vi kan rita en liknande figur för den motsatta funktionen −x², där är situationen den omvända och alla punkter ligger under tangenten:

Innan vi går vidare, titta på nästa figur:

Den funktion som visas, f(x) = x², är konvex. Vi vet redan att för en konvex funktion ligger alla punkter på grafen ovanför tangenten. Det stämmer här — vi har tangenten t och grafens punkter ligger ovanför den. Nu gäller det hur vi kan räkna ut att punkterna ligger ovanför tangenten.

Vi har en given punkt x₀ och i punkten (x₀, f(x₀)) ritar vi tangenten till grafen, linjen t. I figuren är punkten med koordinaterna (x₀, f(x₀)) markerad som den röda punkten T. Därefter väljer vi en annan punkt x på x-axeln. I figuren är det den gröna punkten. För x måste det gälla att punkten (x, f(x)), i figuren den gröna punkten F, ligger ovanför tangenten t. Eftersom funktionen x² är konvex i hela sin definitionsmängd måste punkten (x, f(x)) ligga ovanför tangenten för varje x ∈ D_f.

Hur skriver vi det som en formel? I figuren har vi tangenten t. Tänk dig en linjär funktion t(x) vars graf är just tangenten, alltså linjen t. Då är till exempel funktionsvärdet i punkten x₀, alltså t(x₀), lika med t(x₀) = f(x₀), eftersom funktionerna är lika i den punkten (deras grafer har en gemensam punkt där).

Nu kan vi uttrycka det med formler. Hur skriver vi att grafen till en funktion ligger ovanför grafen till en annan? Helt enkelt som f(x) > t(x). Om vi tittar på figuren: i punkten x ligger tangenten under grafen, eftersom f(x) > t(x).

Eftersom vi känner till funktionen f känner vi också värdena f(x₀) och f(x). För att avgöra om f(x) > t(x) räcker det därför att ta reda på längden av den lila sträckan AB. Hur gör vi det? Jo, längden av sträckan TA känner vi, den är |x − x₀|. Längden av sträckan TB känner vi däremot tyvärr inte. Men om vi beräknar derivatan av funktionen i punkten x₀ får vi tangentens lutning, alltså tangens för den vinkel som tangenten bildar med den positiva x-axeln, och den vinkeln är lika stor som vinkeln ATB, de är likbelägna vinklar.

Nu känner vi längden av sträckan TA och storleken på vinkeln ATB. Vi påminner om att tangens anger förhållandet mellan motstående och närliggande katet, så det gäller att:

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Vi känner $\tan (\sphericalangle ATB)$ och |TA| och vill beräkna |AB|. Vi löser därför ut |AB|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Först sätter vi in |x − x₀| för längden |TA|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

Och för $\tan (\sphericalangle ATB)$ sätter vi in derivatan av funktionen f i punkten x₀, alltså f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Därmed har vi beräknat längden av sträckan AB. I figuren är x > x₀ och derivatan är positiv, men i allmänhet skriver vi (x − x₀) i stället för |x − x₀| så att tecknet blir rätt. Vi kan alltså skriva: funktionen f är konvex i punkten x₀ om det finns någon punkterad omgivning O av punkten x₀ där följande samband gäller för alla x i omgivningen O:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Hela högerledet är i själva verket lika med värdet t(x). Om du tittar på figuren ser du att när du lägger längden av sträckan AB till f(x₀) får du just t(x).

Hur hittar man inflexionspunkter

Vi säger utan härledning att funktionen f(x) är konvex i punkten x₀ om f′′(x₀)>0 och konkav om f′′(x₀)<0. Med ord: om andraderivatan är positiv i en punkt, är funktionen konvex i den punkten.

På samma sätt som ett extremvärde skilde den strängt avtagande delen av en funktion från den strängt växande delen, skiljer inflexionspunkterna de konvexa och konkava delarna åt. En inflexionspunkt är alltså en punkt där funktionen övergår från konvex till konkav eller tvärtom. Tidigare sa vi att även om första derivatan är noll i en punkt behöver det inte nödvändigtvis finnas ett extremvärde där. Det kan nämligen vara en inflexionspunkt.

Vad måste gälla för en inflexionspunkt? I punkten övergår en konvex funktion i en konkav (eller tvärtom), så i punkten kan varken f′′(x)>0 eller f′′(x)<0 gälla. Om funktionen har en andraderivata i punkten måste alltså f′′(x) = 0 gälla. Om f′′(x) = 0 och dessutom f′′′(x) ≠ 0, då har funktionen en inflexionspunkt i x. Exempel:

Bestäm inflexionspunkterna för funktionen f(x) = x³. Graf:

Vi beräknar första, andra och tredje derivatan:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Vi ser att f′(x) = 0 för x = 0 och likaså f′′(0) = 0. Andraderivatan är alltså noll i punkten 0. Samtidigt är tredje derivatan positiv, alltså skild från noll. Funktionen har en inflexionspunkt i x = 0. Av grafen ser vi att den övergår från konkav till konvex.