Studio di funzione: convessità e concavità

La convessità e la concavità di una funzione descrivono, in un certo senso, la curvatura della funzione. I punti in cui una funzione convessa diventa concava o viceversa si chiamano punti di flesso.

Che cos’è una funzione convessa e concava

Dal grafico è spesso evidente a colpo d’occhio se una funzione è convessa (ha la concavità rivolta verso l’alto) o concava (ha la concavità rivolta verso il basso). Una funzione convessa sembra una «conca», mentre una concava sembra una collina. Si dice anche che in una funzione convessa si può versare il caffè. Seguono tre esempi di funzioni già note.

Come stabilire se una funzione è convessa o concava

Ora dobbiamo capire come stabilire se una funzione è convessa o concava in un dato intervallo. Per questo ci serve un’altra figura:

La funzione quadratica è convessa in tutto il suo dominio. Cosa noti guardando tutte le tangenti che ho rappresentato nella figura? Per ogni tangente tutti i punti della funzione quadratica stanno sopra questa tangente, tranne l’unico punto in cui la tangente la tocca. Possiamo disegnare una figura simile per la funzione opposta −x²: lì la situazione sarà rovesciata e tutti i punti staranno sotto la tangente:

Prima di proseguire con la spiegazione osserva la figura seguente:

La funzione rappresentata f(x) = x² è convessa. Sappiamo già che in una funzione convessa tutti i punti del grafico stanno sopra la tangente. Qui la condizione è soddisfatta – abbiamo la tangente t e i punti del grafico stanno sopra di essa. Ora si tratta di capire come calcolare che quei punti stanno sopra la tangente.

Abbiamo un punto x₀ e nel punto (x₀; f(x₀)) tracciamo la tangente al grafico, la retta t. Nella figura il punto di coordinate (x₀; f(x₀)) è segnato con il punto rosso T. Scegliamo poi sull’asse x un altro punto x. Nella figura è il punto verde. Per x deve valere che il punto (x; f(x)), nella figura il punto verde F, si trova sopra la tangente t. Poiché la funzione x² è convessa in tutto il suo dominio, qualunque elemento x ∈ Dom f prendiamo, deve valere che (x; f(x)) si trova sopra la tangente.

Come lo scriveremmo con una formula? Nella figura abbiamo la tangente t. Immaginiamo una funzione lineare t(x) il cui grafico sia proprio la tangente, cioè la retta t. Quindi, per esempio, il valore della funzione nel punto x₀, cioè t(x₀), sarebbe uguale a t(x₀) = f(x₀), perché in questo punto le funzioni coincidono (i loro grafici hanno in questo punto un punto in comune).

Ora possiamo esprimerlo con formule. Come scriveremmo che il grafico di una funzione si trova sopra il grafico di un’altra? Semplicemente così: f(x) > t(x). Guardando la figura: nel punto x la tangente si trova sotto il grafico, perché f(x) > t(x).

Poiché conosciamo la funzione f, conosciamo anche i valori f(x₀) e f(x). Per stabilire se f(x) > t(x) ci basta quindi trovare la lunghezza del segmento viola AB. E come la troviamo? Beh, conosciamo la lunghezza del segmento TA, che è |x − x₀|. La lunghezza del segmento TB però purtroppo non la conosciamo. Tuttavia, se calcoliamo la derivata della funzione nel punto x₀, otteniamo il coefficiente angolare della tangente, cioè la tangente dell’angolo che la retta tangente forma con il semiasse positivo delle x, e questo angolo ha la stessa ampiezza dell’angolo ATB, perché sono angoli corrispondenti.

Ora conosciamo la lunghezza del segmento TA e l’ampiezza dell’angolo ATB. Ricordiamo che la tangente esprime il rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente, quindi vale:

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Conosciamo $\tan (\sphericalangle ATB)$ e |TA| e vogliamo calcolare |AB|. Isoliamo quindi |AB|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Modifichiamo l’equazione sostituendo prima la lunghezza |TA| con |x − x₀|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

E al posto di $\tan (\sphericalangle ATB)$ sostituiamo la derivata della funzione f nel punto x₀, cioè f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Così abbiamo calcolato la lunghezza del segmento AB. Nella figura è x > x₀ e la derivata è positiva, ma in generale al posto di |x − x₀| scriviamo (x − x₀), in modo che il segno risulti corretto. Possiamo quindi scrivere: la funzione f è convessa nel punto x₀ se esiste un intorno bucato O del punto x₀ tale che per ogni x di questo intorno O vale la relazione:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

L’intero secondo membro della disequazione è in realtà uguale al valore t(x). Se guardi la figura, aggiungendo a f(x₀) la lunghezza del segmento AB si ottiene proprio t(x).

Come trovare i punti di flesso

Senza dimostrazione diciamo che la funzione f(x) è convessa nel punto x₀ se vale f′′(x₀)>0 ed è concava se f′′(x₀)<0. A parole: se la derivata seconda in un punto è positiva, la funzione in quel punto è convessa.

Come l’estremo di una funzione separava la parte decrescente dalla parte crescente, i punti di flesso separano le parti convesse e concave della funzione. Un punto di flesso è quindi un punto in cui la funzione passa da convessa a concava o viceversa. In precedenza abbiamo detto che anche se la derivata prima in un punto è nulla, lì non c’è necessariamente un estremo. Lì infatti può esserci un punto di flesso.

Cosa deve valere per un punto di flesso? Nel punto dato una funzione convessa diventa concava (o viceversa), quindi in quel punto non può valere né f′′(x)>0, né f′′(x)<0. Se la funzione ha in quel punto la derivata seconda, deve quindi valere f′′(x) = 0. Se f′′(x) = 0 e allo stesso tempo f′′′(x) ≠ 0, allora nel punto x c’è un punto di flesso. Esempio:

Trova i punti di flesso della funzione f(x) = x³. Grafico:

Calcoliamo la derivata prima, seconda e terza:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Vediamo che f′(x) = 0 per x = 0, e allo stesso modo f′′(0) = 0. La derivata seconda della funzione nel punto 0 è nulla. La derivata terza invece è positiva, quindi diversa da zero. La funzione ha nel punto x = 0 un punto di flesso. Dal grafico vediamo che passa da concava a convessa.