Kurvendiskussion: Konvexität und Konkavität

Konvexität und Konkavität einer Funktion beschreiben gewissermaßen die Krümmung der Funktion. Die Punkte, an denen eine konvexe Funktion in eine konkave übergeht oder umgekehrt, heißen Wendepunkte.

Was sind konvexe und konkave Funktionen

Am Graphen sieht man meist auf den ersten Blick, ob eine Funktion konkav oder konvex ist. Eine konvexe (linksgekrümmte) Funktion sieht aus wie eine Mulde, eine konkave (rechtsgekrümmte) wie ein Berg. Man sagt auch, in eine konvexe Funktion kann man Kaffee gießen. Es folgen drei Beispiele bereits bekannter Funktionen.

Wie man feststellt, ob eine Funktion konvex oder konkav ist

Jetzt müssen wir herausfinden, wie man feststellt, ob eine Funktion auf einem gegebenen Intervall konvex oder konkav ist. Dazu brauchen wir ein weiteres Bild:

Die quadratische Funktion ist auf ihrer gesamten Definitionsmenge konvex. Was fällt dir auf, wenn du dir alle Tangenten ansiehst, die ich im Bild eingezeichnet habe? Für jede Tangente gilt, dass alle Punkte der quadratischen Funktion über dieser Tangente liegen, mit Ausnahme des einzigen Punktes, den die Tangente berührt. Wir können ein ähnliches Bild für die entgegengesetzte Funktion −x² zeichnen, dort ist die Situation umgekehrt und alle Punkte liegen unter der Tangente:

Sieh dir vor den weiteren Erklärungen das folgende Bild an:

Die dargestellte Funktion f(x) = x² ist konvex. Wir wissen schon, dass bei einer konvexen Funktion alle Punkte des Graphen über der Tangente liegen. Das ist hier erfüllt – wir haben die Tangente t, und die Punkte des Graphen liegen über dieser Tangente. Nun geht es darum, wie man berechnet, dass diese Punkte über der Tangente liegen.

Wir haben eine Stelle x₀ und legen im Punkt (x₀ ∣ f(x₀)) die Tangente an den Graphen, die Gerade t. Im Bild ist der Punkt mit den Koordinaten (x₀ ∣ f(x₀)) als roter Punkt T markiert. Weiter wählen wir auf der x-Achse eine andere Stelle x. Im Bild ist das der grüne Punkt. Für x muss gelten, dass der Punkt (x ∣ f(x)), im Bild der grüne Punkt F, über der Tangente t liegt. Da die Funktion x² auf ihrer gesamten Definitionsmenge konvex ist, muss für jedes beliebige Element x ∈ D_f gelten, dass (x ∣ f(x)) über der Tangente liegt.

Wie schreiben wir das als Formel? Im Bild haben wir die Tangente t. Stellen wir uns eine lineare Funktion t(x) vor, deren Graph genau die Tangente bzw. die Gerade t wäre. Der Funktionswert an der Stelle x₀, also t(x₀), wäre dann zum Beispiel t(x₀) = f(x₀), weil die Funktionen an dieser Stelle übereinstimmen (ihre Graphen haben dort einen gemeinsamen Punkt).

Jetzt können wir es mit Formeln ausdrücken. Wie schreiben wir, dass der Graph der einen Funktion über dem Graphen der anderen liegt? Ganz einfach so: f(x) > t(x). Wenn wir uns das Bild ansehen: An der Stelle x liegt die Tangente unter dem Graphen, weil f(x) > t(x).

Da wir die Funktion f kennen, kennen wir auch die Werte f(x₀) und f(x). Um herauszufinden, ob f(x) > t(x), genügt es also, die Länge der violetten Strecke AB zu bestimmen. Und wie bestimmen wir sie? Nun, die Länge der Strecke TA kennen wir, sie ist |x − x₀|. Die Länge der Strecke TB kennen wir leider nicht. Wenn wir aber die Ableitung der Funktion an der Stelle x₀ berechnen, erhalten wir die Steigung der Tangente, d. h. den Tangens des Winkels, den die Tangente mit der positiven x-Achse einschließt, wobei dieser Winkel dieselbe Größe hat wie der Winkel ATB, es sind Stufenwinkel.

Jetzt kennen wir die Länge der Strecke TA und die Größe des Winkels ATB. Wir erinnern daran, dass der Tangens das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete angibt, also gilt:

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Wir kennen $\tan (\sphericalangle ATB)$ und |TA| und wollen |AB| berechnen. Wir lösen also nach |AB| auf:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Die Gleichung formen wir zuerst so um, dass wir für die Länge |TA| den Ausdruck |x − x₀| einsetzen:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

Und für $\tan (\sphericalangle ATB)$ setzen wir die Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀ ein, d. h. f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Damit haben wir die Länge der Strecke AB berechnet. Im Bild ist x > x₀ und die Ableitung ist positiv, im Allgemeinen schreiben wir aber statt |x − x₀| den Ausdruck (x − x₀), damit das Vorzeichen stimmt. Wir können also sagen: Die Funktion f ist an der Stelle x₀ konvex, wenn es eine punktierte Umgebung O der Stelle x₀ gibt, in der für alle x aus dieser Umgebung O die Beziehung gilt:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Die gesamte rechte Seite der Ungleichung ist eigentlich gleich dem Wert t(x). Wenn du dir das Bild ansiehst: Wenn du zu f(x₀) die Länge der Strecke AB addierst, erhältst du genau t(x).

Wie man Wendepunkte findet

Ohne Herleitung sagen wir: Die Funktion f(x) ist an der Stelle x₀ konvex, wenn f′′(x₀)>0 gilt, und konkav, wenn f′′(x₀)<0. In Worten: Wenn die zweite Ableitung an einer Stelle positiv ist, dann ist die Funktion an dieser Stelle konvex.

Ähnlich wie ein Extremum den fallenden Teil der Funktion vom steigenden Teil trennte, trennen Wendepunkte die konvexen und konkaven Teile der Funktion. Ein Wendepunkt ist also ein Punkt, an dem sich die Funktion von konvex zu konkav ändert oder umgekehrt. Früher haben wir gesagt, dass an einer Stelle mit verschwindender erster Ableitung nicht unbedingt ein Extremum liegen muss. Dort kann nämlich ein Wendepunkt liegen.

Was muss für einen Wendepunkt gelten? An der betreffenden Stelle geht eine konvexe Funktion in eine konkave über (oder umgekehrt), also kann dort weder f′′(x)>0 noch f′′(x)<0 gelten. Wenn die Funktion an der Stelle eine zweite Ableitung hat, muss also f′′(x) = 0 gelten. Wenn f′′(x) = 0 und gleichzeitig f′′′(x) ≠ 0, dann liegt an der Stelle x ein Wendepunkt. Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte der Funktion f(x) = x³. Graph:

Wir berechnen die erste, zweite und dritte Ableitung:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Wir sehen, dass f′(x) = 0 für x = 0, ebenso f′′(0) = 0. Die zweite Ableitung der Funktion ist an der Stelle 0 gleich null. Die dritte Ableitung ist dabei positiv, also ungleich null. Die Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt. Am Graphen sehen wir, dass sie dort von konkav zu konvex wechselt.