Koninin Hacmi

Koni, dondurma külahına ya da yoldaki trafik konisine benzeyen bir cisimdir. Altta dairesel bir tabanı vardır, üstte ise tek bir noktada, tepe noktasında birleşir. Koninin hacmi, günlük dille söylersek, böyle bir külaha ne kadar su doldurabileceğimizi gösterir.

Kırmızı ile tabanın yarıçapı r, mavi ile koninin yüksekliği h gösterilmiştir — yükseklik, tepe noktasının tabana uzaklığıdır. Yükseklik tabana diktir. Eğik olmayan sıradan bir konide yükseklik tam olarak tabanın merkezine iner ve böyle bir koniye dik dairesel koni denir.

Koninin Hacim Formülü

Yalnızca formülü arıyorsan, tabanının yarıçapı r ve yüksekliği h olan koninin hacmi V’yi şöyle hesaplarsın:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Örneğin taban yarıçapı r = 3 ve yüksekliği h = 10 olan koninin hacmi

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

olur.

Sonuçta pi sabitinin olması hoşuna gitmiyorsa yerine yaklaşık değeri 3,14’ü yazabilirsin:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Formüle nasıl ulaştık?

Formül, silindirin hacmi formülüyle neredeyse aynıdır, yalnızca içinde fazladan o üçte bir vardır. Tabanının yarıçapı r ve yüksekliği h olan silindirin hacmi şöyledir:

$$V_{\text{silindir}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Şimdi tabanı ve yüksekliği aynı olan bir silindir ile bir koni düşün. Koni silindirin içine tam sığar, tepe noktası silindirin üst tabanının merkezine değer:

İlk bakışta koninin daha küçük olduğu görülür — çevresinde silindirin içinde bir sürü boş yer kalır. Peki ne kadar daha küçük? Bunu deneyerek bulabiliriz. Koniyi suyla doldurup silindire boşaltırız. Silindirin yalnızca üçte biri dolar. Koniyi ikinci kez doldurursak silindir üçte iki dolu olur. Ancak üçüncü koni dolusu su silindiri ağzına kadar doldurur:

Demek ki silindire tam üç koni dolusu su sığar ve koninin hacmi bu yüzden silindirin hacminin üçte biridir:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{silindir}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Suyu bir kaptan diğerine boşaltmak elbette yalnızca bir deneydir, ispat değildir — bir kovaya bakarak bunun tam üçte bir mi yoksa mesela 0,31 mi olduğunu anlayamazsın. Bunun gerçekten tam üçte bir olduğu belirli integral ile ispatlanabilir, ama o konu üniversite düzeyindedir.

Bu arada aynı üçte bir piramit için de geçerlidir: piramidin hacmi, tabanı ve yüksekliği aynı olan prizmanın hacminin üçte biridir.

Örnek: kum yığını

Bir inşaatta koni biçiminde bir kum yığını duruyor. Yüksekliği 1,5 metre, yerdeki genişliği 4 metredir. Yığında kaç metreküp kum vardır?

Sorudaki tuzağa dikkat et: 4 metre yığının genişliği, yani tabanın çapıdır, yarıçapı değildir. Yarıçap çapın yarısıdır, dolayısıyla r = 2 metredir. Yükseklik h = 1,5 metredir. Formülde yerine yazalım:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

İkinin karesini alalım:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

1,5’in üçte biri 0,5 eder, bu yüzden hesabı sadeleştirebiliriz:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

Son olarak pi’nin yaklaşık değerini yazalım:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Yığında yaklaşık 6,28 metreküp kum vardır. Bunu yaklaşık 80 litre alan bir el arabasıyla taşımak isteyen kişinin önünde seksen kadar sefer var — bir metreküp bin litre olduğundan 6280:80 ≈ 79 eder.

Yüksekliği bilmediğimizde

Bazen koninin yüksekliğini bilmeyiz, ama ana doğrusu ℓ’nin uzunluğunu biliriz — bu, tepe noktasının taban çemberinin herhangi bir noktasına uzaklığıdır. Yükseklik, yarıçap ve ana doğru birlikte bir dik üçgen oluşturur, şekilde yeşile boyanmıştır:

Ana doğru ℓ bu üçgenin hipotenüsüdür, yükseklik h ile yarıçap r ise dik kenarlarıdır. Bu yüzden Pisagor teoremine göre

$${\ell }^2=r^2+h^2.$$

Bu eşitlikten yüksekliği çekelim:

$$h=\sqrt{{\ell }^2-r^2}$$

Örnek: Bir dondurma külahının üst kısmının çapı 5 cm, yan kenarı 6,5 cm uzunluğundadır. İçine ne kadar dondurma sığar?

Çap 5 cm olduğuna göre yarıçap r = 2,5 cm’dir. Külahın ana doğrusu ℓ = 6,5 cm’dir. Önce yüksekliği hesaplayalım:

$$h=\sqrt{{\ell }^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

Kareleri alalım:

$$h=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

Sonra karekökü alalım:

$$h=6$$

Külahın yüksekliği 6 cm’dir. Şimdi koninin hacim formülünde yerine yazalım:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

Külaha yaklaşık 39 santimetreküp dondurma sığar, bu da dört santilitreden azdır. Külahın üstünden taşan top dondurma elbette bunun dışındadır — o, kürenin hacminin yarısı olarak hesaplanır.

Hesap Makinesi

Taban yarıçapını ve yüksekliği gir; her alanın birimini ayrıca değiştirebilirsin. Hesap makinesi tam π değerini kullanır, bu yüzden sonuç 94,2’den biraz fazla çıkar.

Ayrıca bak

• Silindirin Hacmi
• Kürenin Hacmi
• Koninin Yüzey Alanı
• Piramidin Yüzey Alanı