Volumen des Kegels

Ein Kegel ist ein Körper, der aussieht wie eine Eistüte oder wie ein Verkehrsleitkegel auf der Straße. Unten hat er eine kreisförmige Grundfläche und oben läuft er in einem einzigen Punkt zusammen, der Spitze. Das Volumen des Kegels sagt uns, salopp gesagt, wie viel Wasser wir in so eine Tüte gießen können.

Kegel mit dem Radius der Grundfläche r und der Höhe h

Rot ist der Radius der Grundfläche r eingezeichnet, blau die Höhe des Kegels h – das ist der Abstand der Spitze von der Grundfläche. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche. Bei einem gewöhnlichen, nicht schiefen Kegel endet sie genau im Mittelpunkt der Grundfläche, und ein solcher Kegel heißt gerader Kreiskegel.

Formel für das Volumen des Kegels

Wenn du nur die Formel suchst: Das Volumen V eines Kegels, dessen Grundfläche den Radius r hat und der die Höhe h hat, berechnest du so:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Ein Kegel mit dem Radius der Grundfläche r = 3 und der Höhe h = 10 hat zum Beispiel das Volumen

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 10 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 90 = 30 π$

Wenn dir ein Ergebnis mit der Konstanten Pi nicht gefällt, kannst du stattdessen den Näherungswert 3,14 einsetzen:

$V \approx 30 \cdot 3, 14 = 94, 2$

Wie sind wir darauf gekommen?

Die Formel ist fast die gleiche wie die Formel für das Volumen des Zylinders, nur steht darin zusätzlich das eine Drittel. Das Volumen eines Zylinders, dessen Grundfläche den Radius r hat und der die Höhe h hat, ist

$V_{Zylinder} = π \cdot r^{2} \cdot h$

Stell dir nun einen Zylinder und einen Kegel vor, die die gleiche Grundfläche und die gleiche Höhe haben. Der Kegel passt genau in den Zylinder, seine Spitze berührt den Mittelpunkt der oberen Grundfläche des Zylinders:

Kegel im Zylinder mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe

Auf den ersten Blick sieht man, dass der Kegel kleiner ist – um ihn herum bleibt im Zylinder viel freier Platz. Aber um wie viel ist er kleiner? Das können wir ausprobieren. Wir füllen den Kegel mit Wasser und gießen es in den Zylinder um. Der Zylinder ist nur zu einem Drittel gefüllt. Wir füllen den Kegel ein zweites Mal, und der Zylinder ist zu zwei Dritteln voll. Erst der dritte Kegel Wasser füllt den Zylinder bis zum Rand:

Das Wasser aus drei Kegeln füllt den Zylinder

In den Zylinder passen also genau drei Kegel Wasser, und das Volumen des Kegels ist deshalb ein Drittel des Volumens des Zylinders:

$V = \frac{1}{3} \cdot V_{Zylinder} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Das Umgießen von Wasser ist natürlich nur ein Versuch, kein Beweis – an einem Eimer würdest du nicht erkennen, ob es genau ein Drittel ist oder vielleicht 0,31. Dass es wirklich genau ein Drittel ist, lässt sich mit dem bestimmten Integral beweisen, das ist aber erst Stoff für die Hochschule.

Übrigens gilt das gleiche Drittel auch bei der Pyramide: Das Volumen einer Pyramide ist ein Drittel des Volumens des Prismas, das die gleiche Grundfläche und die gleiche Höhe hat.

Beispiel: Sandhaufen

Auf der Baustelle liegt ein Sandhaufen in Form eines Kegels. Er ist 1,5 Meter hoch und am Boden 4 Meter breit. Wie viele Kubikmeter Sand sind in dem Haufen?

Vorsicht, die Aufgabenstellung hat eine Falle: 4 Meter ist die Breite des Haufens, also der Durchmesser der Grundfläche, nicht der Radius. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers, also r = 2 Meter. Die Höhe ist h = 1,5 Meter. Wir setzen in die Formel ein:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 1, 5$

Wir quadrieren die Zwei:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4 \cdot 1, 5$

Ein Drittel mal 1,5 ist 0,5, also können wir die Rechnung vereinfachen:

$V = π \cdot 4 \cdot 0, 5 = 2 π$

Und zum Schluss setzen wir den Näherungswert für Pi ein:

$V \approx 2 \cdot 3, 14 = 6, 28$

In dem Haufen sind ungefähr 6,28 Kubikmeter Sand. Wer ihn mit einer Schubkarre abtransportieren wollte, in die etwa 80 Liter passen, hat rund achtzig Fahrten vor sich – ein Kubikmeter sind nämlich tausend Liter, also 6280:80 ≈ 79.

Wenn wir die Höhe nicht kennen

Manchmal kennen wir die Höhe des Kegels nicht, aber wir kennen die Länge seiner Mantellinie s – das ist der Abstand von der Spitze zum Rand der Grundfläche. Höhe, Radius und Mantellinie bilden zusammen ein rechtwinkliges Dreieck, das in der Abbildung grün ausgefüllt ist:

Höhe h, Radius r und Mantellinie s bilden ein rechtwinkliges Dreieck

Die Mantellinie s ist die Hypotenuse dieses Dreiecks, die Höhe h und der Radius r sind die Katheten. Nach dem Satz des Pythagoras gilt deshalb

$s^{2} = r^{2} + h^{2} .$

Diese Gleichung lösen wir nach der Höhe auf:

$h = \sqrt{s^{2} - r^{2}}$

Beispiel: Eine Eistüte hat oben einen Durchmesser von 5 cm und ihre Seite misst 6,5 cm. Wie viel Eis passt hinein?

Der Durchmesser ist 5 cm, der Radius ist also r = 2,5 cm. Die Mantellinie der Tüte ist s = 6,5 cm. Zuerst berechnen wir die Höhe:

$h = \sqrt{s^{2} - r^{2}} = \sqrt{6, 5^{2} - 2, 5^{2}}$

Wir quadrieren:

$h = \sqrt{42, 25 - 6, 25} = \sqrt{36}$

Und ziehen die Wurzel:

$h = 6$

Die Tüte ist 6 cm hoch. Jetzt setzen wir nur noch in die Formel für das Volumen des Kegels ein:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2, 5^{2} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 37, 5 = 12, 5 π \approx 39, 25$

In die Tüte passen ungefähr 39 Kubikzentimeter Eis, das sind knapp vier Zentiliter. Die Eiskugel, die oben aus der Tüte ragt, kommt natürlich noch dazu – die würde man als Hälfte des Kugelvolumens berechnen.

Rechner

Gib den Radius der Grundfläche und die Höhe ein; die Einheit kannst du bei jedem Feld umstellen. Der Rechner verwendet die exakte Zahl Pi, deshalb kommt er auf etwas mehr als 94,2 heraus.

Siehe auch

Kapitel: Volumen der Kugel, Volumen des Zylinders, Volumen des Kegels, Volumen des Würfels, Volumen des Quaders, Volumen des Prismas, Volumen einer Pyramide

« Zurück: Volumen des Zylinders

Weiter: Volumen des Würfels »