Об'єм конуса

Конус — це тіло, що виглядає як ріжок для морозива або як дорожній конус на шосе. Внизу він має круглу основу, а вгорі сходиться в одну точку — вершину. Об'єм конуса, простими словами, показує, скільки води можна налити в такий ріжок.

Червоним позначено радіус основи r, синім — висоту конуса h; це відстань від вершини до основи. Висота перпендикулярна до основи. У звичайного, непохилого конуса вона закінчується точно в центрі основи, і такий конус називають прямим круговим.

Формула об'єму конуса

Якщо тобі потрібна лише формула, то об'єм V конуса, основа якого має радіус r, а висота дорівнює h, обчислиш так:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Наприклад, конус з радіусом основи r = 3 і висотою h = 10 має об'єм

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Якщо тобі не подобається результат зі сталою пі, можеш підставити замість неї наближене значення 3,14:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Як ми до цього дійшли?

Формула майже така сама, як формула об'єму циліндра, лише в ній додатково є одна третина. Об'єм циліндра, основа якого має радіус r, а висота дорівнює h, становить

$$V_{\text{циліндра}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Уяви тепер циліндр і конус, які мають однакову основу та однакову висоту. Конус точно вписується в циліндр, а його вершина торкається центра верхньої основи циліндра:

З першого погляду видно, що конус менший — навколо нього в циліндрі залишається багато вільного місця. Але наскільки він менший? Можна це перевірити. Наповнимо конус водою та перельємо її в циліндр. Циліндр наповниться лише на третину. Наповнимо конус удруге — і циліндр заповнений на дві третини. Лише третій конус води заповнить циліндр по самі вінця:

Отже, у циліндр вміщується рівно три конуси води, а тому об'єм конуса дорівнює одній третині об'єму циліндра:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{циліндра}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Переливання води — це, звісно, лише дослід, а не доведення: з відра ти не відрізниш, чи це рівно третина, чи, скажімо, 0,31. Що це справді рівно третина, можна довести за допомогою визначеного інтеграла, але це матеріал уже для вищої школи.

До речі, така сама третина є і в піраміди: об'єм піраміди дорівнює третині об'єму призми, яка має таку саму основу та таку саму висоту.

Приклад: купа піску

На будівництві лежить купа піску у формі конуса. Вона заввишки 1,5 метра, а біля землі завширшки 4 метри. Скільки кубометрів піску в купі?

Обережно, в умові пастка: 4 метри — це ширина купи, тобто діаметр основи, а не радіус. Радіус — це половина діаметра, тож r = 2 метри. Висота h = 1,5 метра. Підставимо у формулу:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

Піднесемо двійку до квадрата:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

Одна третина помножена на 1,5 дорівнює 0,5, тож обчислення можна спростити:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

І наприкінці підставимо наближене значення пі:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

У купі приблизно 6,28 кубічного метра піску. Хто захоче вивезти її будівельною тачкою, у яку вміщується приблизно 80 літрів, доведеться зробити близько вісімдесяти рейсів — адже один кубічний метр — це тисяча літрів, тож 6280:80 ≈ 79.

Коли ми не знаємо висоти

Іноді висоти конуса ми не знаємо, але знаємо довжину його твірної l — це відстань від вершини до краю основи. Висота, радіус і твірна разом утворюють прямокутний трикутник, на рисунку його зафарбовано зеленим:

Твірна l — це гіпотенуза цього трикутника, висота h і радіус r — катети. Тому за теоремою Піфагора

$$l^2=r^2+h^2.$$

З цієї рівності виразимо висоту:

$$h=\sqrt{l^2-r^2}$$

Приклад: Ріжок для морозива вгорі має діаметр 5 см, а його бік має довжину 6,5 см. Скільки морозива вміститься всередині?

Діаметр дорівнює 5 см, отже радіус r = 2,5 см. Твірна ріжка l = 6,5 см. Спочатку обчислимо висоту:

$$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

Піднесемо до квадрата:

$$h=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

І добудемо корінь:

$$h=6$$

Ріжок заввишки 6 см. Тепер залишилося лише підставити у формулу об'єму конуса:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

У ріжок вміщується приблизно 39 кубічних сантиметрів морозива, це неповні чотири сантилітри. Кулька, що виступає над ріжком, рахується, звісно, окремо; її об'єм дорівнював би половині об'єму кулі.

Калькулятор

Введи радіус основи та висоту, одиниці можна перемикати біля кожного поля. Калькулятор використовує точне число π, тому виходить трохи більше, ніж 94,2.

Див. також

• Об'єм циліндра
• Об'єм кулі
• Площа поверхні конуса
• Площа поверхні піраміди