Kúp térfogata

A kúp olyan test, amely úgy néz ki, mint a fagylaltostölcsér vagy az úton álló terelőkúp. Alul kör alakú alapja van, felül pedig egyetlen pontba, a csúcsba fut össze. A kúp térfogata, köznyelven szólva, azt mondja meg, mennyi vizet tudunk egy ilyen tölcsérbe önteni.

Pirossal az alapkör r sugara van jelölve, kékkel a kúp m magassága – ez a csúcs távolsága az alaptól. A magasság merőleges az alapra. Az egyszerű, nem ferde kúpnál pontosan az alapkör középpontjába érkezik, az ilyen kúpot forgáskúpnak nevezzük.

A kúp térfogatának képlete

Ha csak a képletre van szükséged, akkor annak a kúpnak a V térfogata, amelynek alapköre r sugarú, magassága pedig m, a következő:

$$V=\frac{1}{3}\cdot r^2\cdot \pi \cdot m$$

Például annak a kúpnak, amelynek alapköre r = 3 sugarú, magassága pedig m = 10, a térfogata

$$V=\frac{1}{3}\cdot 3^2\cdot \pi \cdot 10=\frac{1}{3}\cdot 90\cdot \pi =30\pi$$

Ha nem tetszik az eredmény, amelyben a pi állandó szerepel, behelyettesítheted helyette a közelítő 3,14 értéket:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Hogyan jutottunk ide?

A képlet majdnem ugyanaz, mint a henger térfogatának képlete, csak szerepel benne még az az egyharmad. Annak a hengernek a térfogata, amelynek alapköre r sugarú, magassága pedig m:

$$V_{\text{henger}}=r^2\cdot \pi \cdot m$$

Képzelj el most egy hengert és egy kúpot, amelyeknek ugyanaz az alapjuk és ugyanaz a magasságuk. A kúp pontosan belefér a hengerbe, a csúcsa a henger felső alapjának középpontját érinti:

Első pillantásra látszik, hogy a kúp kisebb – körülötte a hengerben rengeteg üres hely marad. De mennyivel kisebb? Ki is próbálhatjuk. Megtöltjük a kúpot vízzel, és átöntjük a hengerbe. A henger csak egyharmadáig telik meg. Másodszor is megtöltjük a kúpot, és a henger már kétharmadáig tele van. Csak a harmadik kúpnyi víz tölti meg a hengert a pereméig:

A hengerbe tehát pontosan három kúpnyi víz fér, ezért a kúp térfogata a henger térfogatának egyharmada:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{henger}}=\frac{1}{3}\cdot r^2\cdot \pi \cdot m$$

A víz átöntögetése persze csak kísérlet, nem bizonyítás – egy vödörből nem lehetne megállapítani, hogy pontosan egyharmadról van-e szó, vagy mondjuk 0,31-ről. Hogy valóban pontosan egyharmad, azt a határozott integrál segítségével lehet bebizonyítani, de ez már egyetemi anyag.

Egyébként ugyanez az egyharmad a gúlánál is érvényes: a gúla térfogata az azonos alapú és magasságú hasáb térfogatának egyharmada.

Példa: homokhalom

Egy építkezésen kúp alakú homokhalom áll. Másfél méter magas, a földnél pedig 4 méter széles. Hány köbméter homok van a halomban?

Vigyázz a feladat csapdájára: a 4 méter a halom szélessége, vagyis az alap átmérője, nem a sugara. A sugár az átmérő fele, tehát r = 2 méter. A magasság m = 1,5 méter. Behelyettesítünk a képletbe:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 2^2\cdot \pi \cdot 1,5$$

Négyzetre emeljük a kettőt:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot \pi \cdot 1,5$$

Az egyharmad szorozva 1,5-del 0,5, így egyszerűsíthetjük a számítást:

$$V=4\cdot \pi \cdot 0,5=2\pi$$

Végül behelyettesítjük a pi közelítő értékét:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

A halomban körülbelül 6,28 köbméter homok van. Aki talicskával szeretné elvinni, amelybe nagyjából 80 liter fér, annak körülbelül nyolcvan forduló áll előtte – egy köbméter ugyanis ezer liter, tehát 6280 : 80 ≈ 79.

Amikor nem ismerjük a magasságot

Néha a kúp magasságát nem ismerjük, de ismerjük az a alkotójának hosszát – ez a csúcs és az alapkör pereme közötti távolság. A magasság, a sugár és az alkotó együtt derékszögű háromszöget alkot, az ábrán zölddel van kiszínezve:

Az a alkotó ennek a háromszögnek az átfogója, az m magasság és az r sugár pedig a befogói. A Pitagorasz-tétel szerint tehát

$$a^2=r^2+m^2.$$

Ebből az egyenlőségből kifejezzük a magasságot:

$$m=\sqrt{a^2-r^2}$$

Példa: Egy fagylaltostölcsér felül 5 cm átmérőjű, az oldala pedig 6,5 cm hosszú. Mennyi fagylalt fér bele?

Az átmérő 5 cm, a sugár tehát r = 2,5 cm. A tölcsér alkotója a = 6,5 cm. Először kiszámítjuk a magasságot:

$$m=\sqrt{a^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

Négyzetre emelünk:

$$m=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

Majd gyököt vonunk:

$$m=6$$

A tölcsér 6 cm magas. Most már csak behelyettesítünk a kúp térfogatának képletébe:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 2,5^2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{3}\cdot 37,5\cdot \pi =12,5\pi \approx 39,25$$

A tölcsérbe körülbelül 39 köbcentiméter fagylalt fér, ez nem egészen négy centiliter. A tölcsér fölé kiálló gombóc természetesen ráadás – azt a gömb térfogatának fele adná.

Számológép

Add meg az alaplap sugarát és a kúp magasságát, a mértékegységet minden mezőnél át lehet kapcsolni. A számológép pontos π-t használ, ezért valamivel több lesz az eredmény, mint 94,2.

Lásd még

• Henger térfogata
• Gömb térfogata
• Kúp felszíne
• Gúla felszíne