Volume d’un cône

Le cône est un solide qui ressemble à un cornet de glace ou à un cône de signalisation sur la route. En bas, il a une base en forme de disque et, en haut, il se resserre en un seul point, le sommet. Le volume d’un cône nous dit, en gros, combien d’eau on peut verser dans un tel cornet.

Le rayon de la base r est marqué en rouge, la hauteur du cône h en bleu : c’est la distance du sommet à la base. La hauteur est perpendiculaire à la base. Dans un cône ordinaire, non penché, elle aboutit exactement au centre de la base, et un tel cône s’appelle un cône de révolution.

Formule du volume d’un cône

Si tu cherches seulement la formule, le volume V d’un cône dont la base a pour rayon r et dont la hauteur est h se calcule ainsi :

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Par exemple, un cône de rayon de base r = 3 et de hauteur h = 10 a pour volume

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Si un résultat avec la constante π ne te plaît pas, tu peux la remplacer par la valeur approchée 3,14 :

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Comment a-t-on trouvé cette formule ?

La formule est presque la même que celle du volume d’un cylindre, avec seulement ce tiers en plus. Le volume d’un cylindre dont la base a pour rayon r et dont la hauteur est h est

$$V_{\text{cylindre}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Imagine maintenant un cylindre et un cône qui ont la même base et la même hauteur. Le cône entre exactement dans le cylindre, son sommet touche le centre de la base supérieure du cylindre :

Au premier coup d’œil, on voit que le cône est plus petit : il reste beaucoup de place libre autour de lui dans le cylindre. Mais de combien est-il plus petit ? On peut essayer. On remplit le cône d’eau et on la verse dans le cylindre. Le cylindre n’est rempli qu’au tiers. On remplit le cône une deuxième fois et le cylindre est plein aux deux tiers. Il faut le troisième cône d’eau pour remplir le cylindre jusqu’au bord :

Dans le cylindre, il tient donc exactement trois cônes d’eau, et le volume du cône est par conséquent le tiers du volume du cylindre :

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{cylindre}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Verser de l’eau n’est bien sûr qu’une expérience, pas une démonstration : avec un seau, tu ne pourrais pas savoir si c’est exactement un tiers ou plutôt 0,31. Que ce soit vraiment exactement un tiers se démontre à l’aide d’une intégrale, mais c’est une notion qu’on ne voit qu’en terminale.

D’ailleurs, le même tiers vaut pour la pyramide : le volume d’une pyramide est le tiers du volume d’un prisme qui a la même base et la même hauteur.

Exemple : un tas de sable

Sur un chantier, il y a un tas de sable en forme de cône. Il fait 1,5 mètre de haut et 4 mètres de large au sol. Combien de mètres cubes de sable y a-t-il dans le tas ?

Attention au piège de l’énoncé : 4 mètres est la largeur du tas, donc le diamètre de la base, pas le rayon. Le rayon est la moitié du diamètre, donc r = 2 mètres. La hauteur est h = 1,5 mètre. On remplace dans la formule :

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

On élève le deux au carré :

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

Un tiers de 1,5 fait 0,5, on peut donc simplifier le calcul :

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

Et enfin, on remplace par une valeur approchée de π :

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Le tas contient environ 6,28 mètres cubes de sable. Celui qui voudrait l’emporter dans une brouette qui contient environ 80 litres a devant lui à peu près quatre-vingts voyages : un mètre cube fait en effet mille litres, donc 6280:80 ≈ 79.

Quand on ne connaît pas la hauteur

Parfois, on ne connaît pas la hauteur du cône, mais on connaît la longueur de sa génératrice g : c’est la distance du sommet au bord de la base. La hauteur, le rayon et la génératrice forment ensemble un triangle rectangle, colorié en vert sur la figure :

La génératrice g est l’hypoténuse de ce triangle, la hauteur h et le rayon r sont les côtés de l’angle droit. D’après le théorème de Pythagore, on a donc

$$g^2=r^2+h^2.$$

De cette égalité, on exprime la hauteur :

$$h=\sqrt{g^2-r^2}$$

Exemple : un cornet de glace a un diamètre de 5 cm en haut et sa génératrice mesure 6,5 cm. Quelle quantité de glace peut-il contenir ?

Le diamètre est 5 cm, le rayon est donc r = 2,5 cm. La génératrice du cornet est g = 6,5 cm. On calcule d’abord la hauteur :

$$h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

On élève au carré :

$$h=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

Et on prend la racine carrée :

$$h=6$$

Le cornet mesure 6 cm de haut. Il ne reste qu’à remplacer dans la formule du volume du cône :

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

Le cornet peut contenir environ 39 centimètres cubes de glace, soit un peu moins de quatre centilitres. La boule de glace qui dépasse du cornet est bien sûr en plus : elle compterait comme la moitié du volume d’une boule.

Calculatrice

Saisis le rayon de la base et la hauteur ; tu peux changer l’unité de chaque champ. La calculatrice utilise la valeur exacte de π, elle trouve donc un peu plus que 94,2.

Voir aussi

• Volume d’un cylindre
• Volume d’une boule
• Aire totale d’un cône
• Aire totale d’une pyramide