Volume del cono

Il cono è un solido che somiglia a un cono gelato o a un cono stradale. In basso ha una base circolare e in alto si restringe fino a un unico punto, il vertice. Il volume del cono ci dice, in parole povere, quanta acqua possiamo versare in un cono gelato così.

Cono con raggio di base r e altezza h

In rosso è indicato il raggio di base r, in blu l’altezza del cono h, cioè la distanza del vertice dalla base. L’altezza è perpendicolare alla base. In un cono normale, non inclinato, cade esattamente nel centro della base e un cono così si chiama cono circolare retto.

Formula del volume del cono

Se cerchi solo la formula, il volume V di un cono la cui base ha raggio r e che ha altezza h si calcola così

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Per esempio, un cono con raggio di base r = 3 e altezza h = 10 ha volume

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 10 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 90 = 30 π$

Se non ti piace il risultato in cui compare la costante pi greco, puoi sostituirla con il valore approssimato 3,14:

$V \approx 30 \cdot 3, 14 = 94, 2$

Come ci siamo arrivati?

La formula è quasi uguale a quella del volume del cilindro, solo che in più c’è il fattore un terzo. Il volume di un cilindro la cui base ha raggio r e che ha altezza h è

$V_{cilindro} = π \cdot r^{2} \cdot h$

Immagina ora un cilindro e un cono che hanno la stessa base e la stessa altezza. Il cono sta esattamente dentro il cilindro e il suo vertice tocca il centro della base superiore del cilindro:

Cono dentro un cilindro con la stessa base e la stessa altezza

A prima vista si vede che il cono è più piccolo: intorno al cono resta nel cilindro molto spazio libero. Ma di quanto è più piccolo? Possiamo provare. Riempiamo il cono d’acqua e la versiamo nel cilindro. Il cilindro si riempie solo per un terzo. Riempiamo il cono una seconda volta e il cilindro è pieno per due terzi. Solo il terzo cono d’acqua riempie il cilindro fino all’orlo:

L’acqua di tre coni riempie il cilindro

Nel cilindro entrano quindi esattamente tre coni d’acqua, e perciò il volume del cono è un terzo del volume del cilindro:

$V = \frac{1}{3} \cdot V_{cilindro} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Travasare l’acqua è naturalmente solo un esperimento, non una dimostrazione: con un secchio non potresti capire se è esattamente un terzo o magari 0,31. Che sia davvero esattamente un terzo si può dimostrare con l’integrale definito, ma questo è un argomento da università.

Tra l’altro, lo stesso terzo vale anche per la piramide: il volume di una piramide è un terzo del volume del prisma che ha la stessa base e la stessa altezza.

Esempio: il mucchio di sabbia

In un cantiere c’è un mucchio di sabbia a forma di cono. È alto 1,5 metri e a terra è largo 4 metri. Quanti metri cubi di sabbia ci sono nel mucchio?

Attenzione al trabocchetto nel testo: 4 metri è la larghezza del mucchio, cioè il diametro della base, non il raggio. Il raggio è la metà del diametro, quindi r = 2 metri. L’altezza è h = 1,5 metri. Sostituiamo nella formula:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 1, 5$

Eleviamo al quadrato il due:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4 \cdot 1, 5$

Un terzo per 1,5 fa 0,5, quindi possiamo semplificare il calcolo:

$V = π \cdot 4 \cdot 0, 5 = 2 π$

E infine sostituiamo il valore approssimato del pi greco:

$V \approx 2 \cdot 3, 14 = 6, 28$

Nel mucchio ci sono circa 6,28 metri cubi di sabbia. Chi volesse portarla via con una carriola da cantiere, in cui entrano circa 80 litri, avrebbe davanti a sé circa ottanta viaggi: un metro cubo, infatti, sono mille litri, quindi 6280:80 ≈ 79.

Quando non conosciamo l’altezza

A volte non conosciamo l’altezza del cono, ma conosciamo la lunghezza del suo apotema a, cioè la distanza dal vertice al bordo della base. Altezza, raggio e apotema formano insieme un triangolo rettangolo, che nella figura è colorato di verde:

Altezza h, raggio r e apotema a formano un triangolo rettangolo

L’apotema a è l’ipotenusa di questo triangolo, mentre l’altezza h e il raggio r sono i cateti. Per il teorema di Pitagora vale quindi

$a^{2} = r^{2} + h^{2} .$

Da questa uguaglianza ricaviamo l’altezza:

$h = \sqrt{a^{2} - r^{2}}$

Esempio: Un cono gelato ha in alto un diametro di 5 cm e il suo lato misura 6,5 cm. Quanto gelato ci entra?

Il diametro è 5 cm, quindi il raggio è r = 2,5 cm. L’apotema del cono gelato è a = 6,5 cm. Per prima cosa calcoliamo l’altezza:

$h = \sqrt{a^{2} - r^{2}} = \sqrt{6, 5^{2} - 2, 5^{2}}$

Eleviamo al quadrato:

$h = \sqrt{42, 25 - 6, 25} = \sqrt{36}$

Ed estraiamo la radice:

$h = 6$

Il cono gelato è alto 6 cm. Ora non ci resta che sostituire nella formula del volume del cono:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2, 5^{2} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 37, 5 = 12, 5 π \approx 39, 25$

Nel cono gelato entrano circa 39 centimetri cubi di gelato, cioè poco meno di quattro centilitri. La pallina che sporge sopra il cono è naturalmente in più: si calcolerebbe come la metà del volume della sfera.

Calcolatrice

Inserisci il raggio della base e l’altezza; puoi cambiare l’unità di misura di ciascun campo. La calcolatrice usa il valore esatto di π, quindi ottiene un po’ più di 94,2.

Vedi anche

Capitoli: Volume della sfera, Volume del cilindro, Volume del cono, Volume del cubo, Volume del parallelepipedo rettangolo, Volume del prisma, Volume della piramide

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