Volumul conului

Conul este un corp geometric care arată ca un cornet de înghețată sau ca un con de semnalizare de pe șosea. Jos are o bază circulară, iar sus se îngustează într-un singur punct, numit vârf. Volumul conului ne spune, pe înțelesul tuturor, câtă apă putem turna într-un astfel de cornet.

Cu roșu este marcată raza bazei r, cu albastru înălțimea conului h – adică distanța de la vârf la bază. Înălțimea este perpendiculară pe bază. La un con obișnuit, neînclinat, ea ajunge exact în centrul bazei, iar un astfel de con se numește con circular drept.

Formula volumului conului

Dacă ai nevoie doar de formulă, volumul V al conului a cărui bază are raza r și care are înălțimea h se calculează ca

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

De exemplu, un con cu raza bazei r = 3 și înălțimea h = 10 are volumul

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Dacă nu îți place rezultatul în care apare constanta pi, o poți înlocui cu valoarea aproximativă 3,14:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Cum am ajuns la formulă?

Formula este aproape la fel cu cea pentru volumul cilindrului, doar că apare în plus acea treime. Volumul cilindrului a cărui bază are raza r și care are înălțimea h este

$$V_{\text{cilindru}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Imaginează-ți acum un cilindru și un con care au aceeași bază și aceeași înălțime. Conul încape exact în cilindru, iar vârful lui atinge centrul bazei de sus a cilindrului:

La prima vedere se observă că conul este mai mic – în jurul lui rămâne în cilindru mult loc liber. Dar cu cât este mai mic? Putem încerca. Umplem conul cu apă și o turnăm în cilindru. Cilindrul se umple doar până la o treime. Umplem conul a doua oară și cilindrul este plin până la două treimi. Abia al treilea con de apă umple cilindrul până la margine:

În cilindru încap așadar exact trei conuri de apă, iar volumul conului este de aceea o treime din volumul cilindrului:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{cilindru}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Turnarea apei este desigur doar un experiment, nu o demonstrație – dintr-o găleată nu ai putea spune dacă este exact o treime sau, să zicem, 0,31. Că este într-adevăr exact o treime se poate demonstra cu ajutorul integralei definite, dar aceasta este materie abia pentru facultate.

Apropo, aceeași treime apare și la piramidă: volumul piramidei este o treime din volumul prismei care are aceeași bază și aceeași înălțime.

Exemplu: grămada de nisip

La o construcție se află o grămadă de nisip în formă de con. Are înălțimea de 1,5 metri și lățimea la sol de 4 metri. Câți metri cubi de nisip sunt în grămadă?

Atenție la capcana din enunț: 4 metri este lățimea grămezii, adică diametrul bazei, nu raza. Raza este jumătate din diametru, deci r = 2 metri. Înălțimea este h = 1,5 metri. Înlocuim în formulă:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

Ridicăm doi la pătrat:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

O treime înmulțită cu 1,5 este 0,5, deci putem simplifica calculul:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

Iar la final înlocuim valoarea aproximativă a lui pi:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

În grămadă sunt aproximativ 6,28 metri cubi de nisip. Cine ar vrea să o care cu roaba, în care încap cam 80 de litri, are în față aproximativ optzeci de drumuri – un metru cub înseamnă o mie de litri, deci 6280:80 ≈ 79.

Când nu cunoaștem înălțimea

Uneori nu cunoaștem înălțimea conului, dar cunoaștem lungimea generatoarei g – adică distanța de la vârf până la marginea bazei. Înălțimea, raza și generatoarea formează împreună un triunghi dreptunghic, colorat în verde în figură:

Generatoarea g este ipotenuza acestui triunghi, iar înălțimea h și raza r sunt catetele. Conform teoremei lui Pitagora avem deci

$$g^2=r^2+h^2.$$

Din această egalitate exprimăm înălțimea:

$$h=\sqrt{g^2-r^2}$$

Exemplu: Un cornet de înghețată are sus diametrul de 5 cm, iar generatoarea lui măsoară 6,5 cm. Câtă înghețată încape înăuntru?

Diametrul este 5 cm, deci raza este r = 2,5 cm. Generatoarea cornetului este g = 6,5 cm. Mai întâi calculăm înălțimea:

$$h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

Ridicăm la pătrat:

$$h=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

Și extragem rădăcina pătrată:

$$h=6$$

Cornetul are înălțimea de 6 cm. Acum înlocuim în formula volumului conului:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

În cornet încap aproximativ 39 de centimetri cubi de înghețată, adică aproape patru centilitri. Bila de înghețată care iese deasupra cornetului este desigur în plus – ea s-ar calcula ca jumătate din volumul sferei.

Calculator

Introdu raza bazei și înălțimea conului; unitățile le poți schimba la fiecare câmp. Calculatorul folosește valoarea exactă a numărului pi, deci rezultatul iese puțin mai mare decât 94,2.

Vezi și

• Volumul cilindrului
• Volumul sferei
• Aria totală a conului
• Aria totală a piramidei