Volume do cone

O cone é um sólido que se parece com uma casquinha de sorvete ou com um cone de sinalização de trânsito. Embaixo tem uma base circular e no alto se afunila em um único ponto, o vértice. O volume do cone nos diz, em linguagem popular, quanta água podemos despejar em uma casquinha dessas.

Cone com raio da base r e altura h

Em vermelho está marcado o raio da base r, em azul a altura do cone h — a distância do vértice à base. A altura é perpendicular à base. Em um cone comum, não inclinado, ela termina exatamente no centro da base, e um cone assim se chama cone reto.

Fórmula do volume do cone

Se você quer só a fórmula, o volume V de um cone cuja base tem raio r e cuja altura é h é

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Por exemplo, um cone com raio da base r = 3 e altura h = 10 tem volume

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 10 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 90 = 30 π$

Se você não gosta de um resultado com a constante pi, pode substituí-la pelo valor aproximado 3,14:

$V \approx 30 \cdot 3, 14 = 94, 2$

Como chegamos a isso?

A fórmula é quase igual à do volume do cilindro, só que nela aparece, a mais, o fator um terço. O volume de um cilindro cuja base tem raio r e cuja altura é h é

$V_{cilindro} = π \cdot r^{2} \cdot h$

Imagine agora um cilindro e um cone que têm a mesma base e a mesma altura. O cone cabe exatamente dentro do cilindro, com o vértice tocando o centro da base superior do cilindro:

Cone dentro de um cilindro com a mesma base e a mesma altura

À primeira vista, dá para ver que o cone é menor — em volta dele sobra muito espaço livre no cilindro. Mas quanto menor? Podemos experimentar. Enchemos o cone de água e despejamos no cilindro. O cilindro fica cheio só até um terço. Enchemos o cone pela segunda vez e o cilindro fica cheio até dois terços. Só o terceiro cone de água enche o cilindro até a borda:

A água de três cones enche o cilindro

No cilindro cabem, portanto, exatamente três cones de água, e o volume do cone é, por isso, um terço do volume do cilindro:

$V = \frac{1}{3} \cdot V_{cilindro} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Despejar água é, claro, só um experimento, não uma demonstração — com um balde você não perceberia se é exatamente um terço ou, digamos, 0,31. Dá para demonstrar que é mesmo exatamente um terço com a integral definida, mas isso já é matéria do ensino superior.

Aliás, o mesmo terço vale para a pirâmide: o volume da pirâmide é um terço do volume do prisma que tem a mesma base e a mesma altura.

Exemplo: monte de areia

Em uma obra há um monte de areia em forma de cone. Ele tem 1,5 metro de altura e 4 metros de largura junto ao chão. Quantos metros cúbicos de areia há no monte?

Atenção à pegadinha do enunciado: 4 metros é a largura do monte, ou seja, o diâmetro da base, não o raio. O raio é a metade do diâmetro, então r = 2 metros. A altura é h = 1,5 metro. Substituímos na fórmula:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 1, 5$

Elevamos o dois ao quadrado:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4 \cdot 1, 5$

Um terço vezes 1,5 é 0,5, então podemos simplificar o cálculo:

$V = π \cdot 4 \cdot 0, 5 = 2 π$

E, por fim, substituímos o valor aproximado de pi:

$V \approx 2 \cdot 3, 14 = 6, 28$

No monte há aproximadamente 6,28 metros cúbicos de areia. Quem quisesse levá-la embora em um carrinho de mão, que comporta cerca de 80 litros, teria pela frente umas oitenta viagens — afinal, um metro cúbico são mil litros, então 6280:80 ≈ 79.

Quando não conhecemos a altura

Às vezes não conhecemos a altura do cone, mas conhecemos o comprimento da sua geratriz g — a distância do vértice até a borda da base. A altura, o raio e a geratriz formam juntos um triângulo retângulo, que na figura está pintado de verde:

A altura h, o raio r e a geratriz g formam um triângulo retângulo

A geratriz g é a hipotenusa desse triângulo, e a altura h e o raio r são os catetos. Pelo teorema de Pitágoras, vale, portanto,

$g^{2} = r^{2} + h^{2} .$

Dessa igualdade isolamos a altura:

$h = \sqrt{g^{2} - r^{2}}$

Exemplo: Uma casquinha de sorvete tem 5 cm de diâmetro na parte de cima e a sua lateral mede 6,5 cm. Quanto sorvete cabe lá dentro?

O diâmetro é 5 cm, então o raio é r = 2,5 cm. A geratriz da casquinha é g = 6,5 cm. Primeiro calculamos a altura:

$h = \sqrt{g^{2} - r^{2}} = \sqrt{6, 5^{2} - 2, 5^{2}}$

Elevamos ao quadrado:

$h = \sqrt{42, 25 - 6, 25} = \sqrt{36}$

E extraímos a raiz quadrada:

$h = 6$

A casquinha tem 6 cm de altura. Agora é só substituir na fórmula do volume do cone:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2, 5^{2} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 37, 5 = 12, 5 π \approx 39, 25$

Na casquinha cabem aproximadamente 39 centímetros cúbicos de sorvete, que são menos de quatro centilitros. A bola que fica para fora da casquinha é, claro, extra — ela seria calculada como metade do volume da esfera.

Calculadora

Informe o raio da base e a altura; você pode trocar as unidades em cada campo. A calculadora usa o pi exato e, por isso, chega a um valor um pouco maior que 94,2.

Veja também

Capítulos: Volume da esfera, Volume do cilindro, Volume do cone, Volume do cubo, Volume do paralelepípedo reto-retângulo, Volume do prisma, Volume da pirâmide

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