Konens volym

En kon är en kropp som ser ut som en glasstrut eller en trafikkon på vägen. Nedtill har den en cirkelformad bas och uppåt smalnar den av till en enda punkt, spetsen. Konens volym säger oss, populärt sagt, hur mycket vatten vi kan hälla i en sådan strut.

Med rött är basens radie r markerad, med blått konens höjd h — det är avståndet från spetsen till basen. Höjden står vinkelrätt mot basen. För en vanlig, icke lutande kon hamnar den exakt i basens medelpunkt, och en sådan kon kallas rak.

Formeln för konens volym

Om du bara letar efter formeln: volymen V för en kon vars bas har radien r och som har höjden h beräknar du som

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Till exempel har en kon med basens radie r = 3 och höjden h = 10 volymen

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Om du inte gillar ett svar med konstanten pi kan du sätta in närmevärdet 3,14:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Hur kom vi fram till den?

Formeln är nästan samma som formeln för cylinderns volym, bara med en extra tredjedel. Volymen av en cylinder vars bas har radien r och som har höjden h är

$$V_{\text{cylinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Tänk dig nu en cylinder och en kon som har samma bas och samma höjd. Konen ryms precis i cylindern, och dess spets nuddar medelpunkten på cylinderns övre bas:

Redan vid första anblicken ser vi att konen är mindre — runt den blir det massor av tomt utrymme i cylindern. Men hur mycket mindre? Det kan vi prova. Vi fyller konen med vatten och häller över vattnet i cylindern. Cylindern fylls bara till en tredjedel. Vi fyller konen en gång till, och cylindern är full till två tredjedelar. Först den tredje konen med vatten fyller cylindern upp till kanten:

I cylindern ryms alltså precis tre koner vatten, och därför är konens volym en tredjedel av cylinderns volym:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{cylinder}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Att hälla över vatten är förstås bara ett experiment, inte ett bevis — med en hink skulle du inte kunna avgöra om det är exakt en tredjedel eller till exempel 0,31. Att det verkligen är exakt en tredjedel kan man bevisa med hjälp av en bestämd integral, men det läser man först på högskolan.

Förresten gäller samma tredjedel för pyramiden: pyramidens volym är en tredjedel av prismats volym med samma bas och samma höjd.

Exempel: en sandhög

På en byggarbetsplats ligger en sandhög formad som en kon. Den är 1,5 meter hög och 4 meter bred vid marken. Hur många kubikmeter sand finns i högen?

Se upp för en fälla i uppgiften: 4 meter är högens bredd, alltså diametern på basen, inte radien. Radien är hälften av diametern, så r = 2 meter. Höjden är h = 1,5 meter. Vi sätter in i formeln:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

Vi kvadrerar tvåan:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

En tredjedel gånger 1,5 är 0,5, så vi kan förenkla beräkningen:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

Till sist sätter vi in närmevärdet för pi:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

I högen finns ungefär 6,28 kubikmeter sand. Den som ville köra bort den med en skottkärra som rymmer ungefär 80 liter har ungefär åttio vändor framför sig — en kubikmeter är nämligen tusen liter, så 6280:80 ≈ 79.

När vi inte känner höjden

Ibland känner vi inte konens höjd, men vi känner längden av dess sidolinje s — det är avståndet från spetsen till basens kant. Höjden, radien och sidolinjen bildar tillsammans en rätvinklig triangel, som är grönfärgad i figuren:

Sidolinjen s är hypotenusan i den här triangeln, och höjden h och radien r är kateterna. Enligt Pythagoras sats gäller därför

$$s^2=r^2+h^2.$$

Ur den här likheten löser vi ut höjden:

$$h=\sqrt{s^2-r^2}$$

Exempel: En glasstrut har diametern 5 cm upptill och sidolinjen 6,5 cm. Hur mycket glass ryms i den?

Diametern är 5 cm, så radien är r = 2,5 cm. Strutens sidolinje är s = 6,5 cm. Först beräknar vi höjden:

$$h=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

Vi kvadrerar:

$$h=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

Och drar roten ur:

$$h=6$$

Struten är 6 cm hög. Nu sätter vi bara in i formeln för konens volym:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

I struten ryms ungefär 39 kubikcentimeter glass, alltså knappt fyra centiliter. Glasskulan som sticker upp ovanför struten kommer förstås utöver det — den skulle räknas som halva klotets volym.

Miniräknare

Ange basens radie och höjden. Du kan byta enhet vid varje fält. Miniräknaren använder det exakta värdet på pi, och därför får den lite mer än 94,2.

Se även

• Cylinderns volym
• Klotets volym
• Konens begränsningsarea
• Pyramidens begränsningsarea