Inhoud van een kegel

Een kegel is een lichaam dat eruitziet als een ijshoorntje of als een verkeerskegel op de weg. Onderaan heeft hij een cirkelvormig grondvlak en bovenaan loopt hij toe naar één punt, de top. De inhoud van een kegel vertelt ons, in gewone taal, hoeveel water we in zo'n hoorntje kunnen gieten.

Rood is de straal r van het grondvlak aangegeven, blauw de hoogte h van de kegel — dat is de afstand van de top tot het grondvlak. De hoogte staat loodrecht op het grondvlak. Bij een gewone, niet-scheve kegel komt ze precies in het middelpunt van het grondvlak uit, en zo'n kegel heet een rechte cirkelkegel.

Formule voor de inhoud van een kegel

Zoek je alleen de formule, dan bereken je de inhoud V van een kegel waarvan het grondvlak straal r heeft en die hoogte h heeft als

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Een kegel met straal van het grondvlak r = 3 en hoogte h = 10 heeft bijvoorbeeld inhoud

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Vind je een uitkomst met de constante pi niet mooi, dan kun je er de benaderde waarde 3,14 voor invullen:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Hoe komen we hieraan?

De formule is bijna dezelfde als die voor de inhoud van een cilinder, alleen zit er nog dat ene derde in. De inhoud van een cilinder waarvan het grondvlak straal r heeft en die hoogte h heeft, is

$$V_{\text{cilinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Stel je nu een cilinder en een kegel voor met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. De kegel past precies in de cilinder, zijn top raakt het middelpunt van het bovenvlak van de cilinder:

Op het eerste gezicht zie je dat de kegel kleiner is — eromheen blijft in de cilinder veel lege ruimte over. Maar hoeveel kleiner? Dat kunnen we uitproberen. We vullen de kegel met water en gieten dat in de cilinder. De cilinder wordt maar voor een derde gevuld. We vullen de kegel voor de tweede keer en de cilinder is voor twee derde vol. Pas de derde kegel water vult de cilinder tot de rand:

In de cilinder passen dus precies drie kegels water, en de inhoud van de kegel is daarom een derde van de inhoud van de cilinder:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{cilinder}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Water overgieten is natuurlijk maar een experiment, geen bewijs — aan een emmer zou je niet zien of het precies een derde is of bijvoorbeeld 0,31. Dat het echt precies een derde is, kun je bewijzen met een bepaalde integraal, maar dat is stof voor wiskunde B in de bovenbouw van het vwo.

Overigens geldt hetzelfde derde ook bij de piramide: de inhoud van een piramide is een derde van de inhoud van een prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte.

Voorbeeld: een hoop zand

Op een bouwplaats ligt een hoop zand in de vorm van een kegel. Hij is 1,5 meter hoog en aan de grond 4 meter breed. Hoeveel kubieke meter zand zit er in de hoop?

Pas op voor de valkuil in de opgave: 4 meter is de breedte van de hoop, dus de diameter van het grondvlak, niet de straal. De straal is de helft van de diameter, dus r = 2 meter. De hoogte is h = 1,5 meter. We vullen in de formule in:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

We kwadrateren de twee:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

Een derde keer 1,5 is 0,5, dus we kunnen de berekening vereenvoudigen:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

En ten slotte vullen we de benaderde waarde van pi in:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

In de hoop zit ongeveer 6,28 kubieke meter zand. Wie hem met een kruiwagen wil afvoeren, waar ongeveer 80 liter in past, heeft zo'n tachtig ritten voor de boeg — één kubieke meter is namelijk duizend liter, dus 6280:80 ≈ 79.

Als we de hoogte niet kennen

Soms kennen we de hoogte van de kegel niet, maar wel de lengte van zijn beschrijvende lijn s — dat is de afstand van de top tot de rand van het grondvlak. De hoogte, de straal en de beschrijvende lijn vormen samen een rechthoekige driehoek, die in de afbeelding groen is ingekleurd:

De beschrijvende lijn s is de schuine zijde van deze driehoek, de hoogte h en de straal r zijn de rechthoekszijden. Volgens de stelling van Pythagoras geldt dus

$$s^2=r^2+h^2.$$

Hieruit maken we de hoogte vrij:

$$h=\sqrt{s^2-r^2}$$

Voorbeeld: Een ijshoorntje heeft bovenaan een diameter van 5 cm en de zijkant is 6,5 cm lang. Hoeveel ijs past erin?

De diameter is 5 cm, dus de straal is r = 2,5 cm. De beschrijvende lijn van het hoorntje is s = 6,5 cm. Eerst berekenen we de hoogte:

$$h=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

We kwadrateren:

$$h=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

En we trekken de wortel:

$$h=6$$

Het hoorntje is 6 cm hoog. Nu hoeven we alleen nog in de formule voor de inhoud van een kegel in te vullen:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

In het hoorntje past ongeveer 39 kubieke centimeter ijs, dat is bijna vier centiliter. Het bolletje dat boven het hoorntje uitsteekt, komt er natuurlijk nog bij — dat zou je berekenen als de helft van de inhoud van een bol.

Rekenmachine

Vul de straal van het grondvlak en de hoogte in, de eenheden kun je bij elk veld omschakelen. De rekenmachine gebruikt de exacte waarde van pi, en daarom komt er iets meer uit dan 94,2.

Zie ook

• Inhoud van een cilinder
• Inhoud van een bol
• Oppervlakte van een kegel
• Oppervlakte van een piramide