Όγκος κώνου

Ο κώνος είναι ένα στερεό που μοιάζει με χωνάκι παγωτού ή με κώνο σήμανσης στον δρόμο. Κάτω έχει κυκλική βάση και πάνω συγκλίνει σε ένα σημείο, την κορυφή. Ο όγκος του κώνου μας λέει, με απλά λόγια, πόσο νερό μπορούμε να ρίξουμε μέσα σε ένα τέτοιο χωνάκι.

Κώνος με ακτίνα βάσης R και ύψος υ

Με κόκκινο φαίνεται η ακτίνα της βάσης R, με μπλε το ύψος του κώνου υ – είναι η απόσταση της κορυφής από τη βάση. Το ύψος είναι κάθετο στη βάση. Σε έναν συνηθισμένο, μη κεκλιμένο κώνο καταλήγει ακριβώς στο κέντρο της βάσης και ένας τέτοιος κώνος λέγεται κώνος εκ περιστροφής.

Τύπος για τον όγκο του κώνου

Αν ψάχνεις μόνο τον τύπο, τότε τον όγκο V ενός κώνου με ακτίνα βάσης R και ύψος υ τον υπολογίζεις ως

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot R^{2} \cdot υ$

Για παράδειγμα, ένας κώνος με ακτίνα βάσης R = 3 και ύψος υ = 10 έχει όγκο

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 10 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 90 = 30 π$

Αν δεν σου αρέσει το αποτέλεσμα στο οποίο υπάρχει η σταθερά π, μπορείς να βάλεις στη θέση της την προσεγγιστική τιμή 3,14:

$V \approx 30 \cdot 3, 14 = 94, 2$

Πώς φτάσαμε σε αυτόν;

Ο τύπος είναι σχεδόν ίδιος με τον τύπο για τον όγκο κυλίνδρου, μόνο που έχει επιπλέον αυτό το ένα τρίτο. Ο όγκος ενός κυλίνδρου με ακτίνα βάσης R και ύψος υ είναι

$V_{κυλίνδρου} = π \cdot R^{2} \cdot υ$

Φαντάσου τώρα έναν κύλινδρο και έναν κώνο που έχουν την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Ο κώνος χωράει ακριβώς μέσα στον κύλινδρο και η κορυφή του ακουμπά στο κέντρο της πάνω βάσης του κυλίνδρου:

Κώνος μέσα σε κύλινδρο με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος

Με την πρώτη ματιά φαίνεται ότι ο κώνος είναι μικρότερος – γύρω του μένει μέσα στον κύλινδρο πολύς κενός χώρος. Πόσο μικρότερος όμως; Μπορούμε να το δοκιμάσουμε. Γεμίζουμε τον κώνο με νερό και το αδειάζουμε στον κύλινδρο. Ο κύλινδρος γεμίζει μόνο κατά το ένα τρίτο. Γεμίζουμε τον κώνο για δεύτερη φορά και ο κύλινδρος είναι γεμάτος κατά τα δύο τρίτα. Μόνο ο τρίτος κώνος νερού γεμίζει τον κύλινδρο ως το χείλος:

Το νερό από τρεις κώνους γεμίζει τον κύλινδρο

Στον κύλινδρο χωράνε λοιπόν ακριβώς τρεις κώνοι νερού, και γι' αυτό ο όγκος του κώνου είναι το ένα τρίτο του όγκου του κυλίνδρου:

$V = \frac{1}{3} \cdot V_{κυλίνδρου} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot R^{2} \cdot υ$

Η μετάγγιση του νερού είναι φυσικά μόνο ένα πείραμα, όχι απόδειξη – με έναν κουβά δεν θα καταλάβαινες αν είναι ακριβώς το ένα τρίτο ή, ας πούμε, 0,31. Ότι είναι πράγματι ακριβώς το ένα τρίτο, μπορεί να αποδειχθεί με τη βοήθεια του ορισμένου ολοκληρώματος, αλλά αυτή είναι ύλη για το πανεπιστήμιο.

Παρεμπιπτόντως, το ίδιο ένα τρίτο ισχύει και για την πυραμίδα: ο όγκος της πυραμίδας είναι το ένα τρίτο του όγκου του πρίσματος που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος.

Παράδειγμα: ένας σωρός άμμου

Σε ένα εργοτάξιο υπάρχει ένας σωρός άμμου σε σχήμα κώνου. Έχει ύψος 1,5 μέτρο και πλάτος 4 μέτρα στο έδαφος. Πόσα κυβικά άμμου υπάρχουν στον σωρό;

Πρόσεξε την παγίδα στην εκφώνηση: τα 4 μέτρα είναι το πλάτος του σωρού, δηλαδή η διάμετρος της βάσης, όχι η ακτίνα. Η ακτίνα είναι το μισό της διαμέτρου, άρα R = 2 μέτρα. Το ύψος είναι υ = 1,5 μέτρα. Αντικαθιστούμε στον τύπο:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 1, 5$

Υψώνουμε το δύο στο τετράγωνο:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4 \cdot 1, 5$

Το ένα τρίτο επί 1,5 κάνει 0,5, οπότε μπορούμε να απλοποιήσουμε τον υπολογισμό:

$V = π \cdot 4 \cdot 0, 5 = 2 π$

Και τέλος αντικαθιστούμε την προσεγγιστική τιμή του π:

$V \approx 2 \cdot 3, 14 = 6, 28$

Στον σωρό υπάρχουν περίπου 6,28 κυβικά μέτρα άμμου. Όποιος θα ήθελε να τον μεταφέρει με καρότσι οικοδομής, που χωράει περίπου 80 λίτρα, θα είχε μπροστά του περίπου ογδόντα διαδρομές – ένα κυβικό μέτρο είναι άλλωστε χίλια λίτρα, άρα 6280:80 ≈ 79.

Όταν δεν ξέρουμε το ύψος

Μερικές φορές δεν ξέρουμε το ύψος του κώνου, αλλά ξέρουμε το μήκος της γενέτειράς του λ – είναι η απόσταση από την κορυφή ως την άκρη της βάσης. Το ύψος, η ακτίνα και η γενέτειρα σχηματίζουν μαζί ένα ορθογώνιο τρίγωνο, που στο σχήμα είναι χρωματισμένο πράσινο:

$Το ύψος υ, η ακτίνα R και η γενέτειρα \lambda σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο$

Η γενέτειρα λ είναι η υποτείνουσα αυτού του τριγώνου, ενώ το ύψος υ και η ακτίνα R είναι οι κάθετες πλευρές. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει επομένως

$λ^{2} = R^{2} + υ^{2} .$

Από αυτή την ισότητα λύνουμε ως προς το ύψος:

$υ = \sqrt{λ^{2} - R^{2}}$

Παράδειγμα: Ένα χωνάκι παγωτού έχει πάνω διάμετρο 5 cm και η πλευρά του μετράει 6,5 cm. Πόσο παγωτό χωράει μέσα;

Η διάμετρος είναι 5 cm, άρα η ακτίνα είναι R = 2,5 cm. Η γενέτειρα του χωνακιού είναι λ = 6,5 cm. Πρώτα υπολογίζουμε το ύψος:

$υ = \sqrt{λ^{2} - R^{2}} = \sqrt{6, 5^{2} - 2, 5^{2}}$

Υψώνουμε στο τετράγωνο:

$υ = \sqrt{42, 25 - 6, 25} = \sqrt{36}$

Και παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα:

$υ = 6$

Το χωνάκι έχει ύψος 6 cm. Τώρα αντικαθιστούμε απλώς στον τύπο για τον όγκο του κώνου:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2, 5^{2} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 37, 5 = 12, 5 π \approx 39, 25$

Στο χωνάκι χωράνε περίπου 39 κυβικά εκατοστά παγωτού, δηλαδή λιγότερο από τέσσερα εκατοστόλιτρα. Η μπάλα που προεξέχει πάνω από το χωνάκι είναι φυσικά επιπλέον – αυτή θα υπολογιζόταν ως το μισό του όγκου σφαίρας.

Αριθμομηχανή

Βάλε την ακτίνα της βάσης και το ύψος· τις μονάδες αλλάζεις σε κάθε πεδίο. Η αριθμομηχανή χρησιμοποιεί την ακριβή τιμή του π και γι' αυτό το αποτέλεσμα βγαίνει λίγο μεγαλύτερο από 94,2.

Δες επίσης

Κεφάλαια: Όγκος σφαίρας, Όγκος κυλίνδρου, Όγκος κώνου, Όγκος κύβου, Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, Όγκος πρίσματος, Όγκος πυραμίδας

« Προηγούμενο: Όγκος κυλίνδρου

Επόμενο: Όγκος κύβου »