Volum av kjegle

En kjegle er en romfigur som ser ut som en iskjeks eller en trafikkjegle langs veien. Nederst har den en sirkelformet grunnflate, og øverst går den sammen i ett punkt, toppunktet. Volumet av en kjegle forteller oss, på folkelig vis, hvor mye vann vi kan helle i en slik kjeks.

Med rødt er radiusen r i grunnflaten markert, og med blått høyden h til kjeglen – avstanden fra toppunktet til grunnflaten. Høyden står vinkelrett på grunnflaten. I en vanlig, ikke-skjev kjegle ender den akkurat i sentrum av grunnflaten, og en slik kjegle kalles en rett sirkulær kjegle.

Formel for volumet av en kjegle

Hvis du bare leter etter formelen, regner du ut volumet V av en kjegle med radius r i grunnflaten og høyde h slik:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

For eksempel har en kjegle med radius r = 3 i grunnflaten og høyde h = 10 volumet

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Hvis du ikke liker et svar med konstanten pi, kan du sette inn tilnærmingen 3,14 for den:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Hvordan kom vi fram til dette?

Formelen er nesten den samme som formelen for volumet av en sylinder, bare med den ene tredjedelen i tillegg. Volumet av en sylinder med radius r i grunnflaten og høyde h er

$$V_{\text{sylinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Tenk deg nå en sylinder og en kjegle med samme grunnflate og samme høyde. Kjeglen passer akkurat inn i sylinderen, og toppunktet berører midten av den øvre grunnflaten til sylinderen:

Ved første øyekast ser vi at kjeglen er mindre – rundt den blir det mye ledig plass i sylinderen. Men hvor mye mindre er den? Vi kan prøve oss fram. Vi fyller kjeglen med vann og heller det over i sylinderen. Sylinderen fylles bare til en tredjedel. Vi fyller kjeglen en gang til, og sylinderen er full til to tredjedeler. Først den tredje kjeglen med vann fyller sylinderen helt opp til kanten:

Det går altså nøyaktig tre kjegler med vann i sylinderen, og volumet av kjeglen er derfor en tredjedel av volumet av sylinderen:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{sylinder}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Å helle over vann er selvsagt bare et forsøk, ikke et bevis – med en bøtte kunne du ikke avgjøre om det er nøyaktig en tredjedel eller kanskje 0,31. At det virkelig er nøyaktig en tredjedel, kan bevises ved hjelp av et bestemt integral, men det er stoff først på universitetet.

Forresten gjelder den samme tredjedelen også for pyramiden: Volumet av en pyramide er en tredjedel av volumet av et prisme med samme grunnflate og samme høyde.

Eksempel: sandhaug

På en byggeplass ligger det en sandhaug i form av en kjegle. Den er 1,5 meter høy og 4 meter bred ved bakken. Hvor mange kubikkmeter sand er det i haugen?

Pass på en felle i oppgaveteksten: 4 meter er bredden av haugen, altså diameteren til grunnflaten, ikke radiusen. Radiusen er halvparten av diameteren, så r = 2 meter. Høyden er h = 1,5 meter. Vi setter inn i formelen:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

Vi regner ut 2 i andre:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

En tredjedel ganger 1,5 er 0,5, så vi kan forenkle utregningen:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

Til slutt setter vi inn tilnærmingen for pi:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

I haugen er det omtrent 6,28 kubikkmeter sand. Den som vil kjøre den bort med en trillebår som rommer omtrent 80 liter, har rundt åtti turer foran seg – en kubikkmeter er nemlig tusen liter, så 6280:80 ≈ 79.

Når vi ikke kjenner høyden

Noen ganger kjenner vi ikke høyden til kjeglen, men vi kjenner lengden av sidekanten s – avstanden fra toppunktet til kanten av grunnflaten. Høyden, radiusen og sidekanten danner sammen en rettvinklet trekant, som er farget grønn på figuren:

Sidekanten s er hypotenusen i denne trekanten, og høyden h og radiusen r er katetene. Ifølge Pytagoras' setning gjelder derfor

$$s^2=r^2+h^2.$$

Fra denne likheten finner vi høyden:

$$h=\sqrt{s^2-r^2}$$

Eksempel: En iskjeks har diameter 5 cm øverst, og siden måler 6,5 cm. Hvor mye is får plass inni?

Diameteren er 5 cm, så radiusen er r = 2,5 cm. Sidekanten til kjeksen er s = 6,5 cm. Først regner vi ut høyden:

$$h=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

Vi regner ut potensene:

$$h=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

Og tar kvadratroten:

$$h=6$$

Kjeksen er 6 cm høy. Nå setter vi bare inn i formelen for volumet av en kjegle:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

I kjeksen får det plass omtrent 39 kubikkcentimeter is, det er knappe fire centiliter. Iskulen som stikker opp over kjeksen, kommer selvsagt i tillegg – den ville regnes som halvparten av volumet av en kule.

Kalkulator

Skriv inn radiusen i grunnflaten og høyden, og du kan bytte enhet ved hvert felt. Kalkulatoren bruker den nøyaktige verdien av pi, og derfor får den litt mer enn 94,2.

Se også

• Volum av sylinder
• Volum av kule
• Overflate av kjegle
• Overflate av pyramide