Rumfang af kegle

En kegle er et legeme, der ser ud som et ishorn eller som en trafikkegle på vejen. Forneden har den en cirkulær grundflade, og foroven løber den sammen i ét punkt, i spidsen. Rumfanget af en kegle fortæller os, populært sagt, hvor meget vand vi kan hælde i sådan et horn.

Med rødt er grundfladens radius r markeret, med blåt keglens højde h — det er afstanden fra spidsen til grundfladen. Højden står vinkelret på grundfladen. Ved en almindelig, ikke-skæv kegle ender den præcis i grundfladens centrum, og sådan en kegle kaldes ret.

Formel for rumfanget af en kegle

Hvis du kun skal bruge formlen, så beregner du rumfanget V af en kegle, hvis grundflade har radius r, og som har højden h, sådan her

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

For eksempel har en kegle med grundfladens radius r = 3 og højden h = 10 rumfanget

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Hvis du ikke bryder dig om resultatet med konstanten pi, kan du indsætte den tilnærmede værdi 3,14 i stedet for:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Hvordan kom vi frem til det?

Formlen er næsten den samme som formlen for rumfanget af en cylinder, bare med den ene tredjedel ekstra. Rumfanget af en cylinder, hvis grundflade har radius r, og som har højden h, er

$$V_{\mathrm{cylinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Forestil dig nu en cylinder og en kegle, som har samme grundflade og samme højde. Keglen passer præcis ind i cylinderen, dens spids rører midten af cylinderens øverste grundflade:

Ved første øjekast kan man se, at keglen er mindre — omkring den er der masser af tomt rum i cylinderen. Men hvor meget mindre er den? Det kan vi prøve af. Vi fylder keglen med vand og hælder det over i cylinderen. Cylinderen bliver kun fyldt til en tredjedel. Vi fylder keglen anden gang, og cylinderen er fyldt til to tredjedele. Først med den tredje kegle vand bliver cylinderen fyldt helt op til kanten:

I cylinderen er der altså plads til præcis tre kegler vand, og keglens rumfang er derfor en tredjedel af cylinderens rumfang:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\mathrm{cylinder}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

At hælde vand over er selvfølgelig kun et forsøg, ikke et bevis — med en spand kan du ikke afgøre, om det er præcis en tredjedel, eller måske 0,31. At det virkelig er præcis en tredjedel, kan bevises ved hjælp af et bestemt integral, men det er stof fra gymnasiets matematik på A-niveau.

Forresten gælder den samme tredjedel også for pyramiden: rumfanget af en pyramide er en tredjedel af rumfanget af et prisme, som har samme grundflade og samme højde.

Eksempel: en bunke sand

På en byggeplads ligger en bunke sand i form af en kegle. Den er 1,5 meter høj og 4 meter bred ved jorden. Hvor mange kubikmeter sand er der i bunken?

Pas på fælden i opgaveteksten: 4 meter er bunkens bredde, altså diameteren af grundfladen, ikke radius. Radius er halvdelen af diameteren, så r = 2 meter. Højden er h = 1,5 meter. Vi indsætter i formlen:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

Vi kvadrerer tallet to:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

En tredjedel gange 1,5 er 0,5, så vi kan forenkle udregningen:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

Og til sidst indsætter vi den tilnærmede værdi af pi:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

I bunken er der cirka 6,28 kubikmeter sand. Den, der vil køre den væk med en trillebør, som kan rumme omkring 80 liter, har cirka firs ture foran sig — én kubikmeter er nemlig tusind liter, så 6280:80 ≈ 79.

Når vi ikke kender højden

Nogle gange kender vi ikke keglens højde, men vi kender længden af dens sidelinje s — det er afstanden fra spidsen til grundfladens kant. Højden, radius og sidelinjen danner sammen en retvinklet trekant, som på figuren er farvet grøn:

Sidelinjen s er denne trekants hypotenuse, højden h og radius r er kateter. Ifølge Pythagoras' sætning gælder derfor

$$s^2=r^2+h^2.$$

Ud fra denne ligning isolerer vi højden:

$$h=\sqrt{s^2-r^2}$$

Eksempel: Et ishorn har foroven en diameter på 5 cm, og dets side måler 6,5 cm. Hvor meget is er der plads til indeni?

Diameteren er 5 cm, radius er altså r = 2,5 cm. Hornets sidelinje er s = 6,5 cm. Først beregner vi højden:

$$h=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

Vi kvadrerer:

$$h=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

Og uddrager kvadratroden:

$$h=6$$

Hornet er 6 cm højt. Nu skal vi bare indsætte i formlen for keglens rumfang:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

I hornet er der plads til cirka 39 kubikcentimeter is, det er knap fire centiliter. Iskuglen, der stikker op over hornet, er selvfølgelig oveni — den ville blive regnet som halvdelen af kuglens rumfang.

Beregner

Indtast grundfladens radius og højden; du kan skifte enhed ved hvert felt. Beregneren bruger den nøjagtige værdi af pi og får derfor et resultat, der er lidt større end 94,2.

Se også

• Rumfang af cylinder
• Rumfang af kugle
• Overfladeareal af kegle
• Overfladeareal af pyramide