Objętość stożka

Stożek to bryła, która wygląda jak rożek do lodów albo jak pachołek drogowy. Na dole ma kołową podstawę, a u góry zbiega się w jeden punkt, w wierzchołek. Objętość stożka mówi nam, po ludzku, ile wody możemy wlać do takiego rożka.

Na czerwono zaznaczono promień podstawy r, na niebiesko wysokość stożka h – to odległość wierzchołka od podstawy. Wysokość jest prostopadła do podstawy. W zwykłym, nieprzechylonym stożku kończy się dokładnie w środku podstawy, a taki stożek nazywamy stożkiem obrotowym.

Wzór na objętość stożka

Jeśli szukasz tylko wzoru: objętość stożka V, którego podstawa ma promień r, a wysokość wynosi h, obliczysz jako

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Na przykład stożek o promieniu podstawy r = 3 i wysokości h = 10 ma objętość

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Jeśli nie podoba ci się wynik z liczbą pi, możesz wstawić za nią przybliżoną wartość 3,14:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Skąd wzięliśmy ten wzór?

Wzór jest prawie taki sam jak wzór na objętość walca, tylko że jest w nim dodatkowo ta jedna trzecia. Objętość walca, którego podstawa ma promień r, a wysokość wynosi h, jest równa

$$V_{\text{walca}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Wyobraź sobie teraz walec i stożek o takiej samej podstawie i takiej samej wysokości. Stożek mieści się w walcu dokładnie, a jego wierzchołek dotyka środka górnej podstawy walca:

Na pierwszy rzut oka widać, że stożek jest mniejszy – wokół niego zostaje w walcu mnóstwo wolnego miejsca. Ale o ile jest mniejszy? Możemy to sprawdzić. Napełniamy stożek wodą i przelewamy ją do walca. Walec wypełni się tylko w jednej trzeciej. Napełniamy stożek po raz drugi i walec jest wypełniony w dwóch trzecich. Dopiero trzeci stożek wody napełni walec po brzegi:

W walcu mieszczą się więc dokładnie trzy stożki wody, dlatego objętość stożka jest równa jednej trzeciej objętości walca:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{walca}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Przelewanie wody to oczywiście tylko doświadczenie, a nie dowód – z samego wiadra nie poznasz, czy to dokładnie jedna trzecia, czy na przykład 0,31. To, że jest to naprawdę dokładnie jedna trzecia, można udowodnić za pomocą całki oznaczonej, ale to materiał dopiero na studia.

Nawiasem mówiąc, ta sama jedna trzecia występuje też w ostrosłupie: objętość ostrosłupa to jedna trzecia objętości graniastosłupa, który ma taką samą podstawę i taką samą wysokość.

Przykład: hałda piasku

Na budowie leży hałda piasku w kształcie stożka. Ma 1,5 metra wysokości, a przy ziemi jest szeroka na 4 metry. Ile metrów sześciennych piasku jest w hałdzie?

Uwaga na pułapkę w zadaniu: 4 metry to szerokość hałdy, czyli średnica podstawy, a nie promień. Promień to połowa średnicy, więc r = 2 metry. Wysokość wynosi h = 1,5 metra. Podstawiamy do wzoru:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

Podnosimy dwójkę do kwadratu:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

Jedna trzecia razy 1,5 to 0,5, więc możemy uprościć obliczenia:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

I na koniec podstawiamy przybliżoną wartość pi:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

W hałdzie jest w przybliżeniu 6,28 metra sześciennego piasku. Kto chciałby ją wywieźć taczką, w której mieści się około 80 litrów, ma przed sobą jakieś osiemdziesiąt kursów – jeden metr sześcienny to przecież tysiąc litrów, więc 6280:80 ≈ 79.

Gdy nie znamy wysokości

Czasem nie znamy wysokości stożka, ale znamy długość jego tworzącej l – to odległość od wierzchołka do brzegu podstawy. Wysokość, promień i tworząca razem tworzą trójkąt prostokątny, na rysunku zaznaczony na zielono:

Tworząca l jest przeciwprostokątną tego trójkąta, a wysokość h i promień r są przyprostokątnymi. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa zachodzi więc

$$l^2=r^2+h^2.$$

Z tej równości wyznaczamy wysokość:

$$h=\sqrt{l^2-r^2}$$

Przykład: Rożek do lodów ma u góry średnicę 5 cm, a jego bok mierzy 6,5 cm. Ile lodów zmieści się w środku?

Średnica wynosi 5 cm, więc promień to r = 2,5 cm. Tworząca rożka to l = 6,5 cm. Najpierw obliczamy wysokość:

$$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

Podnosimy do kwadratu:

$$h=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

A potem pierwiastkujemy:

$$h=6$$

Rożek ma 6 cm wysokości. Teraz wystarczy podstawić do wzoru na objętość stożka:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

W rożku mieści się w przybliżeniu 39 centymetrów sześciennych lodów, czyli niecałe cztery centylitry. Gałkę, która wystaje nad rożek, trzeba oczywiście doliczyć osobno – liczylibyśmy ją jako połowę objętości kuli.

Kalkulator

Wpisz promień podstawy i wysokość, jednostki możesz przełączyć przy każdym polu. Kalkulator używa dokładnego π, dlatego wynik będzie nieco większy niż 94,2.

Zobacz też

• Objętość walca
• Objętość kuli
• Pole powierzchni stożka
• Pole powierzchni ostrosłupa