Volumen del cono

El cono es un cuerpo que parece un cucurucho de helado o un cono de tráfico en la carretera. Abajo tiene una base circular y arriba se estrecha hasta un único punto, el vértice. El volumen del cono nos dice, dicho de forma coloquial, cuánta agua podemos verter en un cucurucho así.

Cono con radio de la base r y altura h

En rojo está marcado el radio de la base r y en azul la altura del cono h, que es la distancia del vértice a la base. La altura es perpendicular a la base. En un cono normal, no inclinado, termina justo en el centro de la base, y a un cono así se le llama cono recto.

Fórmula del volumen del cono

Si buscas solo la fórmula, el volumen V de un cono cuya base tiene radio r y que tiene altura h se calcula como

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Por ejemplo, un cono con radio de la base r = 3 y altura h = 10 tiene un volumen de

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 10 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 90 = 30 π$

Si no te gusta el resultado en el que aparece la constante pi, puedes sustituirla por el valor aproximado 3,14:

$V \approx 30 \cdot 3, 14 = 94, 2$

¿Cómo hemos llegado a ella?

La fórmula es casi igual que la del volumen del cilindro, solo que lleva además ese tercio. El volumen de un cilindro cuya base tiene radio r y que tiene altura h es

$V_{cilindro} = π \cdot r^{2} \cdot h$

Imagina ahora un cilindro y un cono que tienen la misma base y la misma altura. El cono cabe justo dentro del cilindro y su vértice toca el centro de la base superior del cilindro:

Cono dentro de un cilindro con la misma base y altura

A simple vista se ve que el cono es más pequeño: a su alrededor queda dentro del cilindro mucho espacio libre. Pero ¿cuánto más pequeño? Podemos probarlo. Llenamos el cono de agua y la vertemos en el cilindro. El cilindro se llena solo hasta un tercio. Llenamos el cono por segunda vez y el cilindro está lleno hasta los dos tercios. Solo el tercer cono de agua llena el cilindro hasta el borde:

El agua de tres conos llena el cilindro

Así, en el cilindro caben exactamente tres conos de agua, y por eso el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro:

$V = \frac{1}{3} \cdot V_{cilindro} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h$

Trasvasar agua es, por supuesto, solo un experimento, no una demostración: con un cubo no notarías si es exactamente un tercio o, por ejemplo, 0,31. Que es exactamente un tercio se puede demostrar con la integral definida, pero eso ya es materia de la universidad.

Por cierto, el mismo tercio aparece también en la pirámide: el volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma que tiene la misma base y la misma altura.

Ejemplo: el montón de arena

En una obra hay un montón de arena con forma de cono. Tiene 1,5 metros de altura y 4 metros de ancho en el suelo. ¿Cuántos metros cúbicos de arena hay en el montón?

Cuidado con la trampa del enunciado: 4 metros es el ancho del montón, es decir, el diámetro de la base, no el radio. El radio es la mitad del diámetro, así que r = 2 metros. La altura es h = 1,5 metros. Sustituimos en la fórmula:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 1, 5$

Elevamos el dos al cuadrado:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4 \cdot 1, 5$

Un tercio por 1,5 es 0,5, así que podemos simplificar el cálculo:

$V = π \cdot 4 \cdot 0, 5 = 2 π$

Y por último sustituimos el valor aproximado de pi:

$V \approx 2 \cdot 3, 14 = 6, 28$

En el montón hay aproximadamente 6,28 metros cúbicos de arena. Quien quiera llevársela con una carretilla de obra, en la que caben unos 80 litros, tiene por delante unos ochenta viajes, porque un metro cúbico son mil litros, así que 6280:80 ≈ 79.

Cuando no conocemos la altura

A veces no conocemos la altura del cono, pero sí la longitud de su generatriz g, que es la distancia del vértice al borde de la base. La altura, el radio y la generatriz forman juntos un triángulo rectángulo, que en la figura está coloreado de verde:

La altura h, el radio r y la generatriz g forman un triángulo rectángulo

La generatriz g es la hipotenusa de este triángulo, y la altura h y el radio r son los catetos. Por el teorema de Pitágoras se cumple entonces

$g^{2} = r^{2} + h^{2} .$

De esta igualdad despejamos la altura:

$h = \sqrt{g^{2} - r^{2}}$

Ejemplo: Un cucurucho de helado tiene arriba 5 cm de diámetro y su lado mide 6,5 cm. ¿Cuánto helado cabe dentro?

El diámetro es 5 cm, así que el radio es r = 2,5 cm. La generatriz del cucurucho es g = 6,5 cm. Primero calculamos la altura:

$h = \sqrt{g^{2} - r^{2}} = \sqrt{6, 5^{2} - 2, 5^{2}}$

Elevamos al cuadrado:

$h = \sqrt{42, 25 - 6, 25} = \sqrt{36}$

Y extraemos la raíz:

$h = 6$

El cucurucho mide 6 cm de altura. Ahora solo nos queda sustituir en la fórmula del volumen del cono:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2, 5^{2} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 37, 5 = 12, 5 π \approx 39, 25$

En el cucurucho caben aproximadamente 39 centímetros cúbicos de helado, que son casi cuatro centilitros. La bola que sobresale por encima del cucurucho va, por supuesto, aparte: se calcularía como la mitad del volumen de la esfera.

Calculadora

Introduce el radio de la base y la altura; las unidades puedes cambiarlas junto a cada campo. La calculadora usa el número π exacto, así que su resultado será algo mayor que 94,2.

Véase también

Capítulos: Volumen de la esfera, Volumen del cilindro, Volumen del cono, Volumen del cubo, Volumen del ortoedro, Volumen del prisma, Volumen de la pirámide

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