Kartion tilavuus

Kartio on kappale, joka näyttää jäätelötötteröltä tai liikennekartiolta tiellä. Alhaalla on ympyrän muotoinen pohja ja ylhäällä se kapenee yhteen pisteeseen, kärkeen. Kartion tilavuus kertoo arkikielellä, kuinka paljon vettä tällaiseen tötteröön voi kaataa.

Punaisella on merkitty pohjan säde r, sinisellä kartion korkeus h — kärjen etäisyys pohjasta. Korkeus on pohjaa vastaan kohtisuorassa. Tavallisessa, kallistamattomassa kartiossa se päättyy tarkasti pohjan keskipisteeseen, ja tällaista kartiota kutsutaan suoraksi.

Kartion tilavuuden kaava

Jos etsit vain kaavaa, kartion, jonka pohjan säde on r ja korkeus h, tilavuus V lasketaan kaavalla

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Esimerkiksi kartion, jonka pohjan säde on r = 3 ja korkeus h = 10, tilavuus on

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Jos tulos, jossa esiintyy vakio pii, ei miellytä, sen paikalle voi sijoittaa likiarvon 3,14:

$$V\approx 30\cdot 3,14=94,2$$

Miten tähän päädyttiin?

Kaava on lähes sama kuin lieriön tilavuuden kaava, siinä on vain lisäksi tämä kolmasosa. Lieriön, jonka pohjan säde on r ja korkeus h, tilavuus on

$$V_{\text{lieriö}}=\pi \cdot r^2\cdot h$$

Kuvitellaan nyt lieriö ja kartio, joilla on sama pohja ja sama korkeus. Kartio mahtuu lieriön sisään tarkasti, sen kärki koskettaa lieriön ylemmän pohjan keskipistettä:

Ensi silmäyksellä näkee, että kartio on pienempi — sen ympärille jää lieriössä paljon tyhjää tilaa. Mutta kuinka paljon pienempi? Voidaan kokeilla. Täytetään kartio vedellä ja kaadetaan vesi lieriöön. Lieriö täyttyy vain kolmasosaan. Täytetään kartio toisen kerran, ja lieriö on täynnä kahteen kolmasosaan. Vasta kolmas kartiollinen vettä täyttää lieriön reunaan asti:

Lieriöön mahtuu siis tasan kolme kartiollista vettä, ja kartion tilavuus on siksi kolmasosa lieriön tilavuudesta:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{lieriö}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h$$

Veden kaataminen on tietysti vain koe, ei todistus — ämpäristä ei huomaisi, onko se tarkasti kolmasosa vai vaikkapa 0,31. Että se on todella tarkasti kolmasosa, voidaan todistaa määrätyn integraalin avulla, mutta se on asiaa vasta korkeakoulussa.

Muuten, sama kolmasosa pätee myös pyramidille: pyramidin tilavuus on kolmasosa sellaisen särmiön tilavuudesta, jolla on sama pohja ja sama korkeus.

Esimerkki: hiekkakasa

Rakennustyömaalla on kartion muotoinen hiekkakasa. Se on 1,5 metriä korkea ja maassa 4 metriä leveä. Kuinka monta kuutiota hiekkaa kasassa on?

Tehtävässä on sudenkuoppa: 4 metriä on kasan leveys eli pohjan halkaisija, ei säde. Säde on puolet halkaisijasta, joten r = 2 metriä. Korkeus on h = 1,5 metriä. Sijoitetaan kaavaan:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1,5$$

Korotetaan kaksi toiseen potenssiin:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1,5$$

Yksi kolmasosa kertaa 1,5 on 0,5, joten laskua voi yksinkertaistaa:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0,5=2\pi$$

Ja lopuksi sijoitetaan piin likiarvo:

$$V\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Kasassa on likimain 6,28 kuutiometriä hiekkaa. Jos sen haluaisi viedä pois kottikärryillä, joihin mahtuu noin 80 litraa, edessä olisi noin kahdeksankymmentä kuljetusta — yksi kuutiometri on nimittäin tuhat litraa, joten 6280:80 ≈ 79.

Kun korkeutta ei tunneta

Joskus kartion korkeutta ei tunneta, mutta sen sivujanan s pituus tunnetaan — se on etäisyys kärjestä pohjan reunaan. Korkeus, säde ja sivujana muodostavat yhdessä suorakulmaisen kolmion, joka on kuvassa väritetty vihreäksi:

Sivujana s on tämän kolmion hypotenuusa, korkeus h ja säde r ovat kateetteja. Pythagoraan lauseen mukaan siis pätee

$$s^2=r^2+h^2.$$

Tästä yhtälöstä ratkaistaan korkeus:

$$h=\sqrt{s^2-r^2}$$

Esimerkki: Jäätelötötterön halkaisija on ylhäällä 5 cm ja sen kylki on 6,5 cm. Kuinka paljon jäätelöä sinne mahtuu?

Halkaisija on 5 cm, joten säde on r = 2,5 cm. Tötterön sivujana on s = 6,5 cm. Lasketaan ensin korkeus:

$$h=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{6,5^2-2,5^2}$$

Korotetaan toiseen potenssiin:

$$h=\sqrt{42,25-6,25}=\sqrt{36}$$

Ja otetaan neliöjuuri:

$$h=6$$

Tötterö on 6 cm korkea. Nyt tarvitsee enää sijoittaa kartion tilavuuden kaavaan:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2,5^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37,5=12,5\pi \approx 39,25$$

Tötteröön mahtuu likimain 39 kuutiosenttimetriä jäätelöä, eli vajaat neljä senttilitraa. Tötterön yläpuolelle törröttävä jäätelöpallo on tietysti lisää — se laskettaisiin puolena pallon tilavuudesta.

Laskin

Anna pohjan säde ja korkeus, ja yksikön voi vaihtaa kunkin kentän kohdalla. Laskin käyttää tarkkaa piin arvoa, joten tulos on hieman suurempi kuin 94,2.

Katso myös

• Lieriön tilavuus
• Pallon tilavuus
• Kartion pinta-ala
• Pyramidin pinta-ala