L’Hôpitals regel

L’Hôpitals regel (uttalas ”lopital”) kan ibland användas för att beräkna gränsvärden av kvoter.

Definition

När vi beräknar gränsvärdet av en funktion i en punkt kan vi under vissa förutsättningar ta hjälp av derivator. Vi har alltså en funktion i form av en kvot, dvs. funktionerna f(x) och g(x), och söker gränsvärdet

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Om $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, båda funktionerna har en derivata i någon omgivning av punkten x₀ (i själva punkten x₀ behöver de inte ha någon) och gränsvärdet

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

existerar, då gäller sambandet:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Om gränsvärdet $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ inte existerar betyder det inte att gränsvärdet $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ inte heller existerar. Om gränsvärdet med derivator inte existerar måste vi beräkna det ursprungliga gränsvärdet utan derivator på något annat sätt.

Exempel

1. Beräkna gränsvärdet

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Kan vi lösa det här exemplet med l’Hôpitals regel? Först måste vi kontrollera om gränsvärdet av båda funktionerna (den i nämnaren och den i täljaren i bråket) i punkten x₀ = 3 är lika med noll. Vi kallar funktionerna f(x) = x² − 9 och g(x) = x² − x − 6. Båda är polynom och alltså kontinuerliga, så deras gränsvärden är lika med funktionsvärdena:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Det första villkoret är uppfyllt. Lägg märke till att vi inte kan beräkna gränsvärdet bara genom att sätta in talet tre för x, eftersom hela funktionen är diskontinuerlig i punkten x₀ = 3, eller rättare sagt inte har något funktionsvärde alls där (den har inget eftersom vi för att få det skulle behöva dividera med noll). Nu kan vi försöka använda l’Hôpitals regel och derivera båda funktionerna. Observera att vi inte deriverar med kvotregeln, utan deriverar funktionen i täljaren för sig och funktionen i nämnaren för sig. Vi får alltså:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   I stället för det förra gränsvärdet kan vi alltså lösa det här gränsvärdet:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Den här funktionen är kontinuerlig i punkten x₀ = 3, så vi kan nu bara sätta in värdet tre för x och beräkna funktionsvärdet av hela funktionen:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Vi ser att gränsvärdet av den här funktionen existerar, och därför existerar också gränsvärdet $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ och de är lika. Alltså gäller:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Beräkna gränsvärdet

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Hur ser situationen ut i punkten x₀ = 0? Vi kallar återigen f(x) = x och g(x) = sin x. Det gäller att f(0) = 0 och g(0) = 0. Vi får kvoten $\frac{0}{0}$, och funktionen är diskontinuerlig i den punkten. Vi kan försöka använda l’Hôpitals regel. Vi deriverar båda funktionerna:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Nu har vi derivatorna av funktionerna, och vi försöker beräkna gränsvärdet

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Hur ser situationen ut i punkten x₀ = 0? Eftersom cos(0) = 1 får vi bråket $\frac{1}{1}=1$. Funktionen är kontinuerlig i punkten x₀ = 0, så det gäller att

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Det här gränsvärdet existerar, och därför existerar också gränsvärdet $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$ och de är lika. Vi får

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$