Regel van L'Hôpital

De regel van L'Hôpital (uitspraak: “lopitaal”) kan soms worden gebruikt om limieten van een quotiënt te berekenen.

Definitie

Als we de limiet van een functie in een punt berekenen, kunnen we onder bepaalde omstandigheden gebruikmaken van afgeleiden. Stel dat we een functie in de vorm van een quotiënt hebben, dus we hebben de functies f(x) en g(x) en zoeken de limiet

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Als geldt $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, beide functies een afgeleide hebben op een omgeving van het punt x₀ (in het punt x₀ zelf hoeft dat niet) en de limiet

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

bestaat, dan geldt de relatie:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Als de limiet $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ niet bestaat, betekent dat niet dat de limiet $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ ook niet bestaat. Als de limiet met afgeleiden niet bestaat, moeten we de oorspronkelijke limiet zonder afgeleiden op een andere manier berekenen.

Voorbeeld

1. Bereken de limiet

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Kunnen we dit voorbeeld oplossen met de regel van L'Hôpital? Eerst moeten we controleren of de limiet van beide functies (die in de noemer van de breuk en die in de teller) in het punt x₀ = 3 gelijk is aan nul. We noemen de functies f(x) = x² − 9 en g(x) = x² − x − 6. Beide zijn veeltermen en dus continu, dus hun limieten zijn gelijk aan de functiewaarden:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Aan de eerste voorwaarde is voldaan. Let op: we kunnen de limiet niet berekenen door gewoon het getal drie voor x in te vullen, want de hele functie is in het punt x₀ = 3 niet continu, of liever gezegd: ze heeft daar helemaal geen functiewaarde (die heeft ze niet omdat we daarvoor door nul zouden moeten delen). Nu kunnen we proberen de regel van L'Hôpital te gebruiken en beide functies te differentiëren. Let op: we differentiëren niet met de quotiëntregel, maar differentiëren de functie in de teller en de functie in de noemer afzonderlijk. We krijgen dus:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   In plaats van de vorige limiet kunnen we dus deze limiet oplossen:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Deze functie is in het punt x₀ = 3 continu, dus we kunnen nu gewoon de waarde drie voor x invullen en de functiewaarde van de hele functie berekenen:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   We zien dat de limiet van deze functie bestaat, dus bestaat ook de limiet $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ en deze limieten zijn gelijk. Er geldt dus:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Bereken de limiet

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Hoe ziet de situatie in het punt x₀ = 0 eruit? Opnieuw noemen we f(x) = x en g(x) = sin x. Er geldt f(0) = 0 en g(0) = 0. We krijgen het quotiënt $\frac{0}{0}$, de functie is in het gegeven punt niet continu. We kunnen proberen de regel van L'Hôpital te gebruiken. We differentiëren beide functies:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   We hebben de afgeleiden van de functies, nu proberen we de limiet

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   te berekenen. Wat gebeurt er in het punt x₀ = 0? Omdat cos(0) = 1, krijgen we de breuk $\frac{1}{1}=1$. De functie is in het punt x₀ = 0 continu, dus er geldt

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Omdat deze limiet bestaat, bestaat ook de limiet $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$ en deze limieten zijn gelijk. We krijgen

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$