L'Hospital-szabály

Az L'Hospital-szabály (ejtsd: lopitál-szabály) néha használható hányados alakú határértékek kiszámítására.

Definíció

Ha egy függvény határértékét számoljuk egy pontban, bizonyos körülmények között segíthetnek a deriváltak. Legyen tehát egy hányados alakú függvényünk, vagyis adott az f(x) és a g(x) függvény, és keressük a

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$$

határértéket.

Ha $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, mindkét függvénynek van deriváltja az x₀ pont valamilyen környezetében (magában az x₀ pontban nem kell, hogy legyen), és létezik a

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

határérték, akkor érvényes az összefüggés:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Ha a $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ határérték nem létezik, az nem jelenti azt, hogy a $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ határérték sem létezik. Ha a deriváltakkal felírt határérték nem létezik, az eredeti határértéket deriváltak nélkül, más módon kell kiszámolnunk.

Példa

1. Számítsd ki a határértéket

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Megoldhatjuk ezt a példát az L'Hospital-szabállyal? Először ellenőriznünk kell, hogy mindkét függvény (a tört nevezőjében és a számlálójában álló) határértéke az x₀ = 3 pontban nulla-e. Jelöljük a függvényeket f(x) = x² − 9 és g(x) = x² − x − 6 módon. Mindkettő polinom, tehát folytonos, így a határértékük egyenlő a függvényértékekkel:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Az első feltétel teljesül. Figyeld meg, hogy a határértéket nem számolhatjuk ki úgy, hogy egyszerűen behelyettesítjük az x helyére a hármat, mert az egész függvény az x₀ = 3 pontban nem folytonos, illetve ott egyáltalán nincs függvényértéke (azért nincs, mert a kiszámításához nullával kellene osztanunk). Most megpróbálhatjuk alkalmazni az L'Hospital-szabályt, és deriválni mindkét függvényt. Vigyázz, nem a hányados deriválási képlete szerint deriválunk, hanem külön deriváljuk a számlálóban álló függvényt, és külön a nevezőben állót. Azt kapjuk, hogy:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Az előző határérték helyett tehát ezt a határértéket oldhatjuk meg:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Ez a függvény az x₀ = 3 pontban folytonos, így már csak behelyettesíthetjük az x helyére a hármat, és kiszámolhatjuk az egész függvény értékét:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Látjuk, hogy ennek a függvénynek létezik a határértéke, ezért létezik a $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ határérték is, és ezek egyenlők. Tehát:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Számítsd ki a határértéket

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Mi a helyzet az x₀ = 0 pontban? Ismét jelöljük f(x) = x és g(x) = sin x módon. Igaz, hogy f(0) = 0 és g(0) = 0. A $\frac{0}{0}$ hányadost kapjuk, a függvény az adott pontban nem folytonos. Megpróbálhatjuk alkalmazni az L'Hospital-szabályt. Deriváljuk mindkét függvényt:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Megvannak a függvények deriváltjai, próbáljuk kiszámolni a

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   határértéket. Milyen helyzet áll elő az x₀ = 0 pontban? Mivel cos(0) = 1, a $\frac{1}{1}=1$ törtet kapjuk. A függvény az x₀ = 0 pontban folytonos, ezért

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Mivel ez a határérték létezik, létezik a $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$ határérték is, és ezek egyenlők. Azt kapjuk, hogy

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$