L’Hospitalin sääntö

L’Hospitalin sääntöä (lausutaan: lopitalin sääntö) voidaan joskus käyttää osamäärämuotoisten raja-arvojen laskemiseen.

Määritelmä

Kun lasketaan funktion raja-arvoa pisteessä, voidaan tietyin edellytyksin käyttää apuna derivaattoja. Olkoon siis funktio osamäärän muodossa, eli on annettu funktiot f(x) ja g(x) ja etsitään raja-arvoa

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Jos pätee $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, molemmilla funktioilla on derivaatta jossakin pisteen x₀ ympäristössä (itse pisteessä x₀ sitä ei tarvitse olla) ja olemassa on raja-arvo

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

niin pätee yhtälö:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Jos raja-arvoa $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ ei ole olemassa, se ei tarkoita, ettei raja-arvoa $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ olisi. Jos derivaattoja sisältävää raja-arvoa ei ole olemassa, alkuperäinen raja-arvo on laskettava ilman derivaattoja jollakin toisella tavalla.

Esimerkki

1. Laske raja-arvo

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Voidaanko tämä tehtävä ratkaista l’Hospitalin säännöllä? Ensin on tarkistettava, onko molempien funktioiden (murtoluvun nimittäjässä ja osoittajassa olevan funktion) raja-arvo pisteessä x₀ = 3 nolla. Merkitään f(x) = x² − 9 ja g(x) = x² − x − 6. Molemmat ovat polynomeja ja siten jatkuvia, joten niiden raja-arvot ovat yhtä suuret kuin funktion arvot:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Ensimmäinen ehto toteutuu. Huomaa, että raja-arvoa ei voi laskea yksinkertaisesti sijoittamalla x:n paikalle lukua kolme, koska koko funktio on pisteessä x₀ = 3 epäjatkuva, tarkemmin sanottuna sillä ei ole siinä lainkaan arvoa (arvon saamiseksi pitäisi jakaa nollalla). Nyt voidaan yrittää käyttää l’Hospitalin sääntöä ja derivoida molemmat funktiot. Huomaa, että osamäärän derivointisääntöä ei käytetä, vaan osoittajan funktio ja nimittäjän funktio derivoidaan erikseen. Saadaan:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Edellisen raja-arvon sijasta voidaan siis ratkaista tämä raja-arvo:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Tämä funktio on pisteessä x₀ = 3 jatkuva, joten voidaan vain sijoittaa x:n paikalle kolme ja laskea koko funktion arvo:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Nähdään, että tämän funktion raja-arvo on olemassa, joten myös raja-arvo $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ on olemassa ja nämä raja-arvot ovat yhtä suuret. Pätee siis:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Laske raja-arvo

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Millainen tilanne on pisteessä x₀ = 0? Merkitään jälleen f(x) = x ja g(x) = sin x. Pätee f(0) = 0 ja g(0) = 0. Saadaan osamäärä $\frac{0}{0}$, funktio on tässä pisteessä epäjatkuva. Voidaan kokeilla l’Hospitalin sääntöä. Derivoidaan molemmat funktiot:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Funktioiden derivaatat on saatu, kokeillaan laskea raja-arvo

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Millainen tilanne on pisteessä x₀ = 0? Koska cos(0) = 1, saadaan murtoluku $\frac{1}{1}=1$. Funktio on pisteessä x₀ = 0 jatkuva, joten pätee

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Koska tämä raja-arvo on olemassa, myös raja-arvo $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$ on olemassa ja nämä raja-arvot ovat yhtä suuret. Saadaan

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$