Teorema di de L’Hôpital

Il teorema di de L’Hôpital (detto anche regola di de L’Hôpital; si legge «lopitàl») si può talvolta usare per calcolare limiti di quozienti.

Definizione

Quando calcoliamo il limite di una funzione in un punto, in certe circostanze possiamo aiutarci con le derivate. Abbiamo quindi una funzione sotto forma di quoziente, cioè due funzioni f(x) e g(x), e cerchiamo il limite

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Se vale $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, entrambe le funzioni hanno la derivata in un intorno del punto x₀ (nel punto x₀ stesso non è necessario che l’abbiano) ed esiste il limite

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

allora vale la relazione:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Se il limite $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ non esiste, questo non significa che non esista nemmeno il limite $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$. Se non esiste il limite con le derivate, dobbiamo calcolare il limite originale, senza derivate, in un altro modo.

Esempio

1. Calcola il limite

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Possiamo risolvere questo esercizio con il teorema di de L’Hôpital? Prima di tutto dobbiamo verificare se il limite di entrambe le funzioni (quella al denominatore della frazione e quella al numeratore) nel punto x₀ = 3 è uguale a zero. Indichiamo le funzioni con f(x) = x² − 9 e g(x) = x² − x − 6. Entrambe sono polinomi, quindi continue, perciò i loro limiti sono uguali ai valori delle funzioni:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   La prima condizione è soddisfatta. Osserva che non possiamo calcolare il limite semplicemente sostituendo a x il numero tre, perché l’intera funzione nel punto x₀ = 3 è discontinua, anzi, lì non ha nemmeno un valore (non ce l’ha perché, per ottenerlo, dovremmo dividere per zero). Ora possiamo provare a usare il teorema di de L’Hôpital e derivare entrambe le funzioni. Attenzione: non deriviamo con la formula del quoziente, ma deriviamo separatamente la funzione al numeratore e separatamente quella al denominatore. Otteniamo quindi:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Al posto del limite precedente possiamo quindi risolvere questo limite:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Questa funzione nel punto x₀ = 3 è continua, quindi possiamo semplicemente sostituire a x il valore tre e calcolare il valore dell’intera funzione:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Vediamo che il limite di questa funzione esiste, quindi esiste anche il limite $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ e i due limiti sono uguali. Vale quindi:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Calcola il limite

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{sen}x}$$

   Com’è la situazione nel punto x₀ = 0? Indichiamo di nuovo f(x) = x e g(x) = sen x. Vale f(0) = 0 e g(0) = 0. Otteniamo il quoziente $\frac{0}{0}$, la funzione nel punto dato è discontinua. Possiamo provare a usare il teorema di de L’Hôpital. Deriviamo entrambe le funzioni:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Abbiamo le derivate delle funzioni, proviamo a calcolare il limite

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Che cosa succede nel punto x₀ = 0? Poiché cos(0) = 1, otteniamo la frazione $\frac{1}{1}=1$. La funzione nel punto x₀ = 0 è continua, quindi vale

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Poiché questo limite esiste, esiste anche il limite $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{sen}x}$ e i due limiti sono uguali. Otteniamo

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{sen}x}=1$$