Regula lui l'Hôpital

Regula lui l'Hôpital (se citește: lopital) poate fi folosită uneori pentru calculul limitelor sub formă de cât.

Definiție

Dacă calculăm limita unei funcții într-un punct, în anumite condiții ne putem ajuta de derivate. Fie deci o funcție sub formă de cât, adică avem funcțiile f(x) și g(x) și căutăm limita

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Dacă $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, ambele funcții au derivată pe o vecinătate a punctului x₀ (în punctul x₀ însuși nu este nevoie să o aibă) și există limita

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

atunci este adevărată relația:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Dacă limita $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ nu există, asta nu înseamnă că nu există nici limita $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$. Dacă nu există limita cu derivate, trebuie să calculăm limita inițială, fără derivate, în alt mod.

Exemplu

1. Calculează limita

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Putem rezolva acest exemplu cu regula lui l'Hôpital? Mai întâi trebuie să verificăm dacă limita ambelor funcții (cea de la numitorul fracției și cea de la numărător) în punctul x₀ = 3 este egală cu zero. Notăm funcțiile f(x) = x² − 9 și g(x) = x² − x − 6. Ambele sunt polinoame, deci continue, așa că limitele lor sunt egale cu valorile funcțiilor:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Prima condiție este îndeplinită. Observă că limita nu o putem calcula pur și simplu înlocuind x cu numărul trei, pentru că întreaga funcție este discontinuă în punctul x₀ = 3, respectiv nu are deloc valoare acolo (nu are, pentru că pentru a o obține ar trebui să împărțim la zero). Acum putem încerca să folosim regula lui l'Hôpital și să derivăm ambele funcții. Atenție, nu derivăm după formula de derivare a câtului, ci derivăm separat funcția de la numărător și separat funcția de la numitor. Obținem:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   În locul limitei precedente putem deci rezolva această limită:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Această funcție este continuă în punctul x₀ = 3, așa că putem doar să înlocuim x cu valoarea trei și să calculăm valoarea întregii funcții:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Vedem că limita acestei funcții există, deci există și limita $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$, iar aceste limite sunt egale. Avem astfel:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Calculează limita

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Cum arată situația în punctul x₀ = 0? Notăm din nou f(x) = x și g(x) = sin x. Avem f(0) = 0 și g(0) = 0. Obținem un cât $\frac{0}{0}$, funcția este discontinuă în punctul dat. Putem încerca să folosim regula lui l'Hôpital. Derivăm ambele funcții:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Avem derivatele funcțiilor, încercăm să calculăm limita

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Ce situație apare în punctul x₀ = 0? Pentru că cos(0) = 1, obținem fracția $\frac{1}{1}=1$. Funcția este continuă în punctul x₀ = 0, deci

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Pentru că această limită există, există și limita $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$, iar aceste limite sunt egale. Obținem

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$