Regel von L’Hospital

Die Regel von L’Hospital (sprich: lopital) lässt sich manchmal zur Berechnung von Grenzwerten von Quotienten verwenden.

Definition

Wenn wir den Grenzwert einer Funktion an einer Stelle berechnen, können wir uns unter bestimmten Voraussetzungen mit Ableitungen helfen. Wir haben also eine Funktion in Form eines Quotienten, d. h. zwei Funktionen f(x) und g(x), und suchen den Grenzwert

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Wenn $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$ gilt, beide Funktionen in einer Umgebung der Stelle x₀ eine Ableitung haben (an der Stelle x₀ selbst müssen sie keine haben) und der Grenzwert

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

existiert, dann gilt die Beziehung:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Wenn der Grenzwert $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ nicht existiert, bedeutet das nicht, dass auch der Grenzwert $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ nicht existiert. Existiert der Grenzwert mit den Ableitungen nicht, müssen wir den ursprünglichen Grenzwert ohne Ableitungen auf andere Weise berechnen.

Beispiel

1. Berechne den Grenzwert

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Können wir dieses Beispiel mit der Regel von L’Hospital lösen? Zuerst müssen wir überprüfen, ob der Grenzwert beider Funktionen (der im Nenner des Bruchs und der im Zähler) an der Stelle x₀ = 3 gleich null ist. Wir bezeichnen die Funktionen mit f(x) = x² − 9 und g(x) = x² − x − 6. Beide sind Polynome und damit stetig, ihre Grenzwerte sind also gleich den Funktionswerten:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Die erste Voraussetzung ist erfüllt. Beachte, dass wir den Grenzwert nicht einfach berechnen können, indem wir für x die Zahl drei einsetzen, denn die gesamte Funktion ist an der Stelle x₀ = 3 unstetig bzw. hat dort gar keinen Funktionswert (sie hat keinen, weil wir dafür durch null dividieren müssten). Jetzt können wir versuchen, die Regel von L’Hospital anzuwenden und beide Funktionen abzuleiten. Achtung, wir leiten nicht nach der Quotientenregel ab, sondern leiten die Funktion im Zähler und die Funktion im Nenner getrennt ab. Wir erhalten also:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Statt des vorherigen Grenzwerts können wir also diesen Grenzwert berechnen:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Diese Funktion ist an der Stelle x₀ = 3 stetig, sodass wir einfach für x den Wert drei einsetzen und den Funktionswert der gesamten Funktion berechnen können:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Wir sehen, dass der Grenzwert dieser Funktion existiert, deshalb existiert auch der Grenzwert $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$, und die beiden Grenzwerte sind gleich. Es gilt also:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Berechne den Grenzwert

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Wie sieht die Situation an der Stelle x₀ = 0 aus? Wieder setzen wir f(x) = x und g(x) = sin x. Es gilt f(0) = 0 und g(0) = 0. Wir erhalten den Quotienten $\frac{0}{0}$, die Funktion ist an dieser Stelle unstetig. Wir können versuchen, die Regel von L’Hospital anzuwenden. Wir leiten beide Funktionen ab:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Die Ableitungen haben wir, wir versuchen den Grenzwert

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   zu berechnen. Wie sieht es an der Stelle x₀ = 0 aus? Weil cos(0) = 1 ist, erhalten wir den Bruch $\frac{1}{1}=1$. Die Funktion ist an der Stelle x₀ = 0 stetig, also gilt

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Weil dieser Grenzwert existiert, existiert auch der Grenzwert $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$, und die beiden Grenzwerte sind gleich. Wir erhalten

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$