L'Hôpitals regel

L'Hôpitals regel (udtales: lopitals regel) kan nogle gange bruges til at beregne grænseværdier af brøker.

Definition

Når vi beregner grænseværdien af en funktion i et punkt, kan vi under visse omstændigheder få hjælp af afledede funktioner. Lad os have en funktion i form af en brøk, dvs. vi har funktionerne f(x) og g(x) og søger grænseværdien

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Hvis der gælder $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, hvis begge funktioner er differentiable i en omegn af punktet x₀ (i selve punktet x₀ behøver de ikke at være det), og hvis der findes en grænseværdi

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

så gælder sammenhængen:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Hvis grænseværdien $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ ikke findes, betyder det ikke, at grænseværdien $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ heller ikke findes. Hvis grænseværdien med afledede funktioner ikke findes, må vi beregne den oprindelige grænseværdi uden afledede funktioner på en anden måde.

Eksempel

1. Beregn grænseværdien

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Kan vi løse dette eksempel med l'Hôpitals regel? Først skal vi kontrollere, om grænseværdien af begge funktioner (den i nævneren og den i tælleren af brøken) i punktet x₀ = 3 er lig med nul. Vi kalder funktionerne f(x) = x² − 9 og g(x) = x² − x − 6. Begge er polynomier og dermed kontinuerte, så deres grænseværdier er lig med funktionsværdierne:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Den første betingelse er opfyldt. Bemærk, at vi ikke kan beregne grænseværdien bare ved at indsætte tallet tre for x, fordi hele funktionen er diskontinuert i punktet x₀ = 3, eller rettere slet ikke har en funktionsværdi dér (den har ingen, fordi vi for at få den ville skulle dividere med nul). Nu kan vi prøve at bruge l'Hôpitals regel og differentiere begge funktioner. Pas på, vi differentierer ikke efter reglen for kvotienter, vi differentierer funktionen i tælleren for sig og funktionen i nævneren for sig. Så får vi:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   I stedet for den foregående grænseværdi kan vi altså løse denne grænseværdi:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Denne funktion er kontinuert i punktet x₀ = 3, så vi kan nøjes med at indsætte værdien tre for x og beregne funktionsværdien af hele funktionen:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Vi ser, at grænseværdien af denne funktion findes, derfor findes også grænseværdien $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$, og de to grænseværdier er lige store. Der gælder altså:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Beregn grænseværdien

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Hvordan ser situationen ud i punktet x₀ = 0? Igen kalder vi f(x) = x og g(x) = sin x. Der gælder f(0) = 0 og g(0) = 0. Vi får brøken $\frac{0}{0}$, funktionen er diskontinuert i det givne punkt. Vi kan prøve at bruge l'Hôpitals regel. Vi differentierer begge funktioner:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Vi har de afledede funktioner og prøver at beregne grænseværdien

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Hvad sker der i punktet x₀ = 0? Fordi cos(0) = 1, får vi brøken $\frac{1}{1}=1$. Funktionen er kontinuert i punktet x₀ = 0, så der gælder

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Fordi denne grænseværdi findes, findes også grænseværdien $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$, og de to grænseværdier er lige store. Vi får

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$