Règle de L’Hôpital

La règle de L’Hôpital (qui se prononce « lopital ») permet parfois de calculer des limites de quotients.

Définition

Quand on calcule la limite d’une fonction en un point, on peut dans certains cas se faciliter la tâche avec des dérivées. Considérons donc une fonction sous forme de quotient, c’est-à-dire deux fonctions f(x) et g(x), et cherchons la limite

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Si $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, si les deux fonctions sont dérivables sur un voisinage du point x₀ (elles ne le sont pas forcément en x₀ lui-même) et si la limite

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

existe, alors on a l’égalité :

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Si la limite $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ n’existe pas, cela ne veut pas dire que la limite $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ n’existe pas non plus. Si la limite avec les dérivées n’existe pas, il faut calculer la limite de départ autrement, sans dérivées.

Exemples

1. Calcule la limite

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Peut-on résoudre cet exemple avec la règle de L’Hôpital ? Il faut d’abord vérifier que la limite des deux fonctions (celle du numérateur et celle du dénominateur de la fraction) en x₀ = 3 est égale à zéro. Posons f(x) = x² − 9 et g(x) = x² − x − 6. Ce sont deux polynômes, donc des fonctions continues, et leurs limites sont égales à leurs valeurs :

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   La première condition est remplie. Remarque qu’on ne peut pas calculer la limite en remplaçant simplement x par trois, car la fonction tout entière n’est pas continue en x₀ = 3 ; elle n’y a même pas de valeur (pour l’obtenir, il faudrait diviser par zéro). On peut maintenant essayer la règle de L’Hôpital et dériver les deux fonctions. Attention, on ne dérive pas avec la formule du quotient : on dérive séparément la fonction du numérateur et celle du dénominateur. On obtient :

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Au lieu de la limite précédente, on peut donc étudier celle-ci :

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Cette fonction est continue en x₀ = 3, donc on peut simplement remplacer x par trois et calculer la valeur de la fonction tout entière :

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   On voit que la limite de cette fonction existe ; la limite $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ existe donc aussi, et les deux limites sont égales. On a ainsi :

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Calcule la limite

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Que se passe-t-il en x₀ = 0 ? Posons de nouveau f(x) = x et g(x) = sin x. On a f(0) = 0 et g(0) = 0. On obtient un quotient $\frac{0}{0}$, la fonction n’est pas continue en ce point. On peut essayer la règle de L’Hôpital. Dérivons les deux fonctions :

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Nous avons les dérivées, essayons de calculer la limite

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Que se passe-t-il en x₀ = 0 ? Comme cos(0) = 1, on obtient la fraction $\frac{1}{1}=1$. La fonction est continue en x₀ = 0, donc

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Cette limite existe, donc la limite $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$ existe aussi et les deux limites sont égales. On obtient

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$