Regla de L'Hôpital

La regla de L'Hôpital (se lee «lopital») se puede usar a veces para calcular límites en forma de cociente.

Definición

Si estamos calculando el límite de una función en un punto, en ciertas circunstancias podemos ayudarnos de las derivadas. Tenemos, pues, una función en forma de cociente, es decir, las funciones f(x) y g(x), y buscamos el límite

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Si se cumple $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, ambas funciones tienen derivada en algún entorno del punto x₀ (en el propio punto x₀ no hace falta que la tengan) y existe el límite

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

entonces se cumple la igualdad:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Si el límite $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ no existe, eso no significa que tampoco exista el límite $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$. Si no existe el límite con derivadas, tenemos que calcular el límite original, sin derivadas, de otra manera.

Ejemplo

1. Calcula el límite

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   ¿Podemos resolver este ejemplo con la regla de L'Hôpital? Primero debemos comprobar si el límite de ambas funciones (la del denominador de la fracción y la del numerador) en el punto x₀ = 3 es igual a cero. Llamemos f(x) = x² − 9 y g(x) = x² − x − 6. Ambas son polinomios y, por tanto, continuas, así que sus límites son iguales a los valores de la función:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   La primera condición se cumple. Fíjate en que no podemos calcular el límite sin más sustituyendo x por el número tres, porque toda la función es discontinua en el punto x₀ = 3; mejor dicho, ni siquiera tiene allí valor (no lo tiene porque, para obtenerlo, tendríamos que dividir entre cero). Ahora podemos intentar usar la regla de L'Hôpital y derivar ambas funciones. Ojo: no derivamos con la fórmula de la derivada de un cociente, sino que derivamos por separado la función del numerador y la del denominador. Obtenemos:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   En lugar del límite anterior podemos resolver este otro:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Esta función es continua en el punto x₀ = 3, así que ya solo tenemos que sustituir x por el valor tres y calcular el valor de toda la función:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Vemos que el límite de esta función existe, por lo que también existe el límite $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ y ambos límites son iguales. Por tanto, se cumple:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Calcula el límite

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{sen}x}$$

   ¿Cómo es la situación en el punto x₀ = 0? De nuevo llamamos f(x) = x y g(x) = sen x. Se cumple que f(0) = 0 y g(0) = 0. Obtenemos el cociente $\frac{0}{0}$ y la función es discontinua en ese punto. Podemos intentar usar la regla de L'Hôpital. Derivamos ambas funciones:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Ya tenemos las derivadas de las funciones; intentamos calcular el límite

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   ¿Qué ocurre en el punto x₀ = 0? Como cos(0) = 1, obtenemos la fracción $\frac{1}{1}=1$. La función es continua en el punto x₀ = 0, así que se cumple

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Como este límite existe, también existe el límite $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{sen}x}$ y ambos límites son iguales. Obtenemos

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{sen}x}=1$$