Κανόνας de l’Hospital

Ο κανόνας de l’Hospital (διάβαζε: ντε λοπιτάλ) μπορεί μερικές φορές να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό ορίων σε μορφή πηλίκου.

Ορισμός

Αν υπολογίζουμε το όριο συνάρτησης σε ένα σημείο, τότε κάτω από ορισμένες συνθήκες μπορούμε να βοηθηθούμε από τις παραγώγους. Έστω λοιπόν μια συνάρτηση σε μορφή πηλίκου, δηλαδή έχουμε συναρτήσεις f(x) και g(x) και ψάχνουμε το όριο

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Αν ισχύει $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, και οι δύο συναρτήσεις έχουν παράγωγο σε κάποια περιοχή του σημείου x₀ (στο ίδιο το σημείο x₀ δεν χρειάζεται να την έχουν) και υπάρχει το όριο

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

τότε ισχύει η σχέση:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Αν το όριο $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ δεν υπάρχει, αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει ούτε το όριο $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$. Αν δεν υπάρχει το όριο με τις παραγώγους, πρέπει να υπολογίσουμε το αρχικό όριο χωρίς παραγώγους με άλλον τρόπο.

Παράδειγμα

1. Υπολόγισε το όριο

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Μπορούμε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα με τον κανόνα de l’Hospital; Πρώτα πρέπει να ελέγξουμε αν το όριο και των δύο συναρτήσεων (αυτής στον παρονομαστή του κλάσματος και αυτής στον αριθμητή) στο σημείο x₀ = 3 είναι ίσο με μηδέν. Ονομάζουμε τις συναρτήσεις f(x) = x² − 9 και g(x) = x² − x − 6. Και οι δύο είναι πολυώνυμα, άρα συνεχείς, οπότε τα όριά τους είναι ίσα με τις τιμές τους:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Η πρώτη προϋπόθεση ικανοποιείται. Πρόσεξε ότι το όριο δεν μπορούμε να το υπολογίσουμε απλώς αντικαθιστώντας το x με τον αριθμό τρία, γιατί ολόκληρη η συνάρτηση είναι στο σημείο x₀ = 3 ασυνεχής, ή μάλλον δεν έχει εκεί καθόλου τιμή (δεν την έχει επειδή για να τη βρούμε θα έπρεπε να διαιρέσουμε με το μηδέν). Τώρα μπορούμε να δοκιμάσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα de l’Hospital και να παραγωγίσουμε και τις δύο συναρτήσεις. Προσοχή, δεν παραγωγίζουμε με τον τύπο για πηλίκο, παραγωγίζουμε χωριστά τη συνάρτηση στον αριθμητή και χωριστά τη συνάρτηση στον παρονομαστή. Παίρνουμε λοιπόν:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Αντί για το προηγούμενο όριο μπορούμε λοιπόν να λύσουμε αυτό το όριο:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Αυτή η συνάρτηση είναι στο σημείο x₀ = 3 συνεχής, οπότε μπορούμε πια απλώς να αντικαταστήσουμε το x με την τιμή τρία και να υπολογίσουμε την τιμή ολόκληρης της συνάρτησης:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Βλέπουμε ότι το όριο αυτής της συνάρτησης υπάρχει, άρα υπάρχει και το όριο $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$ και αυτά τα όρια είναι ίσα. Ισχύει λοιπόν:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Υπολόγισε το όριο

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x}$$

   Τι συμβαίνει στο σημείο x₀ = 0; Πάλι ονομάζουμε f(x) = x και g(x) = ημ x. Ισχύει ότι f(0) = 0 και g(0) = 0. Παίρνουμε πηλίκο $\frac{0}{0}$, η συνάρτηση είναι στο δοσμένο σημείο ασυνεχής. Μπορούμε να δοκιμάσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα de l’Hospital. Παραγωγίζουμε και τις δύο συναρτήσεις:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x\end{array}$$

   Έχουμε τις παραγώγους των συναρτήσεων, δοκιμάζουμε να υπολογίσουμε το όριο

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x}$$

   Τι γίνεται στο σημείο x₀ = 0; Επειδή συν(0) = 1, παίρνουμε το κλάσμα $\frac{1}{1}=1$. Η συνάρτηση είναι στο σημείο x₀ = 0 συνεχής, άρα ισχύει

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Επειδή υπάρχει αυτό το όριο, υπάρχει και το όριο $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x}$ και αυτά τα όρια είναι ίσα. Παίρνουμε

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }x}=1$$