L'Hôpitals regel

L'Hôpitals regel (uttales «lopitals regel») kan noen ganger brukes til å regne ut grenseverdier av brøker.

Definisjon

Når vi regner ut grenseverdien til en funksjon i et punkt, kan vi under visse vilkår få hjelp av deriverte. La oss si at vi har en funksjon på brøkform, altså at vi har funksjonene f(x) og g(x), og at vi leter etter grenseverdien

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Hvis $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, begge funksjonene har en derivert i en omegn av punktet x₀ (de trenger ikke å ha det i selve punktet x₀), og grenseverdien

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

finnes, da gjelder sammenhengen:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Hvis grenseverdien $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ ikke finnes, betyr ikke det at grenseverdien $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ heller ikke finnes. Hvis grenseverdien med deriverte ikke finnes, må vi regne ut den opprinnelige grenseverdien uten deriverte på en annen måte.

Eksempel

1. Regn ut grenseverdien

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Kan vi løse dette eksempelet med L'Hôpitals regel? Først må vi kontrollere om grenseverdien til begge funksjonene (den i nevneren og den i telleren i brøken) er lik null i punktet x₀ = 3. Vi kaller funksjonene f(x) = x² − 9 og g(x) = x² − x − 6. Begge er polynomer og dermed kontinuerlige, så grenseverdiene er lik funksjonsverdiene:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   Den første betingelsen er oppfylt. Legg merke til at vi ikke kan regne ut grenseverdien bare ved å sette inn tallet tre for x, for hele funksjonen er diskontinuerlig i punktet x₀ = 3, eller rettere sagt har den ingen funksjonsverdi der (den har ingen fordi vi måtte dele på null for å få den). Nå kan vi prøve å bruke L'Hôpitals regel og derivere begge funksjonene. Pass på: vi deriverer ikke etter regelen for brøk, men deriverer funksjonen i telleren og funksjonen i nevneren hver for seg. Vi får:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   I stedet for den forrige grenseverdien kan vi altså løse denne grenseverdien:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Denne funksjonen er kontinuerlig i punktet x₀ = 3, så vi kan bare sette inn verdien tre for x og regne ut funksjonsverdien til hele funksjonen:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Vi ser at grenseverdien til denne funksjonen finnes, og derfor finnes også grenseverdien $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$, og disse grenseverdiene er like. Det gjelder altså:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Regn ut grenseverdien

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$$

   Hvordan ser situasjonen ut i punktet x₀ = 0? Igjen kaller vi f(x) = x og g(x) = sin x. Det gjelder at f(0) = 0 og g(0) = 0. Vi får brøken $\frac{0}{0}$, og funksjonen er diskontinuerlig i dette punktet. Vi kan prøve å bruke L'Hôpitals regel. Vi deriverer begge funksjonene:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Vi har de deriverte av funksjonene, og prøver å regne ut grenseverdien

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Hva skjer i punktet x₀ = 0? Siden cos(0) = 1, får vi brøken $\frac{1}{1}=1$. Funksjonen er kontinuerlig i punktet x₀ = 0, så det gjelder

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Siden denne grenseverdien finnes, finnes også grenseverdien $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}$, og disse grenseverdiene er like. Vi får

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$$