Regra de L'Hôpital

A regra de L'Hôpital (lê-se: lopital) pode às vezes ser usada para calcular limites na forma de quociente.

Definição

Se calculamos o limite de uma função em um ponto, então, em certas circunstâncias, podemos nos ajudar com as derivadas. Tomemos, então, uma função na forma de quociente, isto é, temos as funções f(x) e g(x) e procuramos o limite

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Se vale $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$, as duas funções têm derivada em alguma vizinhança do ponto x₀ (no próprio ponto x₀ não precisam tê-la) e existe o limite

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)},$$

então vale a relação:

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

Se o limite $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ não existe, isso não significa que também não exista o limite $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$. Se não existe o limite com as derivadas, devemos calcular o limite original, sem derivadas, de outra maneira.

Exemplo

1. Calcule o limite

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$$

   Podemos resolver este exemplo pela regra de L'Hôpital? Primeiro precisamos verificar se o limite das duas funções (a do denominador da fração e a do numerador) no ponto x₀ = 3 é igual a zero. Vamos chamar as funções de f(x) = x² − 9 e g(x) = x² − x − 6. As duas são polinômios e, portanto, contínuas, de modo que seus limites são iguais aos valores da função:

   $$\begin{array}{rcl}f(3)& =& 3^2-9=0\\ g(3)& =& 3^2-3-6=0\end{array}$$

   A primeira condição está satisfeita. Observe que não podemos calcular o limite simplesmente substituindo x pelo número três, porque a função inteira é descontínua no ponto x₀ = 3, ou melhor, nem sequer tem valor da função ali (não tem porque, para obtê-lo, teríamos de dividir por zero). Agora podemos tentar usar a regra de L'Hôpital e derivar as duas funções. Atenção: não derivamos pela fórmula do quociente, e sim derivamos separadamente a função do numerador e a função do denominador. Assim obtemos:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 2x\\ g^{\prime }(x)& =& 2x-1\end{array}$$

   Em vez do limite anterior, podemos, portanto, resolver este limite:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}$$

   Essa função é contínua no ponto x₀ = 3, então podemos apenas substituir x pelo valor três e calcular o valor da função inteira:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{2\cdot 3}{2\cdot 3-1}=\frac{6}{5}$$

   Vemos que o limite dessa função existe, portanto existe também o limite $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$, e esses limites são iguais. Vale, assim:

   $$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{2x}{2x-1}=\frac{6}{5}.$$

2. Calcule o limite

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{sen}x}$$

   Qual é a situação no ponto x₀ = 0? Novamente chamamos f(x) = x e g(x) = sen x. Vale que f(0) = 0 e g(0) = 0. Obtemos o quociente $\frac{0}{0}$, e a função é descontínua no ponto dado. Podemos tentar usar a regra de L'Hôpital. Derivamos as duas funções:

   $$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 1\\ g^{\prime }(x)& =& \cos x\end{array}$$

   Temos as derivadas das funções; tentamos calcular o limite

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}$$

   Qual é a situação no ponto x₀ = 0? Como cos(0) = 1, obtemos a fração $\frac{1}{1}=1$. A função é contínua no ponto x₀ = 0, então vale

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{1}=1.$$

   Como esse limite existe, existe também o limite $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{sen}x}$, e esses limites são iguais. Obtemos

   $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\mathrm{sen}x}=1$$