Logaritmfunktioner

Logaritmfunktionen är den inversa funktionen till exponentialfunktionen.

Vad är en logaritm

Logaritmfunktionen skriver vi med beteckningen log_a. Den naturliga logaritmen (se längre ned) betecknas ln. Logaritmfunktionens grundform ser ut så här:

$$y={\log }_{a}x$$

Vi läser: ”Logaritmen för talet x med basen a”. Den här logaritmfunktionen är invers till exponentialfunktionen f(x) = a^x. Logaritmfunktionens funktionsvärde kallas logaritm.

Eftersom logaritmfunktionen är invers till exponentialfunktionen måste följande ekvivalens gälla:

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Om alltså a^y är lika med x, så är logaritmen för x med basen a lika med y. Vi tittar på några exempel. Låt oss ta exponentialfunktionen f(x) = 2^x. Hur ser den inversa funktionen (logaritmfunktionen) ut? Så här: f⁻¹(x) = log₂x. Om vi sätter in trean i exponentialfunktionen får vi f(3) = 2³ = 8.

Vilket samband måste nu gälla? Om vi stoppar in åttan i den inversa funktionen f⁻¹ måste logaritmfunktionen ge tillbaka trean. Talet 3 var ju exponentialfunktionens argument och talet 8 var resultatet. Den inversa funktionen fungerar åt andra hållet: talet 8 går in och talet 3 kommer ut. Att det verkligen stämmer kan du kontrollera till exempel med Google.

När vi skriver 2³ = 8 ger alltså den inversa logaritmfunktionen sambandet log₂8 = 3. Vad är då en logaritm? Logaritmen är den exponent som basen ska upphöjas till för att vi ska få argumentet x.

Viktiga logaritmfunktioner

Några logaritmfunktioner är särskilt viktiga. Det gäller framför allt den ”naturliga logaritmen”, som har Eulers tal som bas. Det betecknar vi med bokstaven e (talet e). Det är ett irrationellt tal, alltså ett tal med oändlig icke-periodisk decimalutveckling. Dess närmevärde är e = 2,718 281 828… Den naturliga logaritmen skriver vi antingen log_ex eller enklare ln x. Bokstaven ”n” kommer från latinets ”logarithmus naturalis”, men för att komma ihåg det räcker det med svenskan: ”naturlig logaritm”.

En annan betydelsefull logaritm är ”tiologaritmen”, alltså logaritmfunktionen med basen tio. Vi skriver den antingen log₁₀x eller kortare lg x. Om ingen bas är angiven (lg, eller log på miniräknaren) utgår man från att basen är 10.

Egenskaper hos logaritmfunktionen

Som vi redan vet är logaritmfunktionen invers till exponentialfunktionen. Därför ärver den en del av dess egenskaper och begränsningar. Vi vet att exponentialfunktionen har formen f(x) = a^x, där a är ett reellt tal som är större än noll och skilt från ett. Därför måste också logaritmens bas a vara större än noll och skild från ett. Här är logaritmfunktionen en gång till:

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Eftersom det är en invers funktion känner vi redan till definitionsmängden och värdemängden. Logaritmfunktionens definitionsmängd är samma som exponentialfunktionens värdemängd, alltså ]0, +∞[. Logaritmens värdemängd är i sin tur samma som exponentialfunktionens definitionsmängd, det vill säga alla reella tal.

Grafer till logaritmfunktioner

Precis som för exponentialfunktionen måste vi skilja på två fall: när basen a ligger i intervallet ]0, 1[ och när den ligger i intervallet ]1, +∞[. I det första fallet, alltså när a ligger i ]0, 1[, ser grafen ut så här:

När basen a ligger i intervallet ]1, +∞[ ser grafen ut så här:

Titta också på graferna till en exponentialfunktion och dess inversa logaritmfunktion i samma koordinatsystem (blå är logaritmen, röd är exponentialfunktionen):

Varför graferna går genom punkten (1, 0)

Båda graferna skär x-axeln i punkten x = 1. Det är helt rimligt, eftersom varje exponentialfunktion går genom punkten (0, 1). Logaritmen är en invers funktion, så den måste alltid gå genom punkten (1, 0). Det finns en logik bakom det. Om grafen går genom punkten (1, 0) betyder det att indata x = 1 ger utdata f(x) = 0.

För logaritmer betyder det att vi söker den exponent som basen ska upphöjas till för att vi ska få ett. Vilken exponent är det? Bara noll. Allt upphöjt till noll är ett, så oavsett bas går logaritmfunktionen genom punkten (1, 0). (Obs: glöm inte att basen inte kan vara vilket tal som helst: a>0 och a ≠ 1.)

Logaritmlagar (formler)

Här följer några viktiga samband och formler för logaritmer.

Anta att a verkligen är en logaritmbas, alltså a>0, a ≠ 1. Låt vidare x₁ och x₂ vara godtyckliga positiva reella tal. Då gäller:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+}\end{array}$$

Några samband som följer direkt av definitionen av logaritmen:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Hur du uttrycker en annan logaritm med hjälp av den naturliga logaritmen

Ibland har man till exempel på miniräknaren inte tillgång till logaritmer med godtycklig bas, utan bara till den naturliga logaritmen och tiologaritmen. Vad gör du om du behöver beräkna en logaritm med en annan bas? Det finns en formel som hjälper dig. Det gäller nämligen att:

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Om vi väljer Eulers tal som b får vi formeln:

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

I första avsnittet behövde vi beräkna logaritmen för talet 8 med basen 2. Med den naturliga logaritmen räknar vi så här:

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Beräkningen kan du återigen kontrollera med Google. Du behöver inte använda den naturliga logaritmen, du kan lika gärna använda tiologaritmen, formeln tillåter det. Alltså gäller likaså:

$${\log }_{2}8=\frac{\lg 8}{\lg 2}=3$$

(Kom ihåg att lg är logaritmen med basen a = 10.) Kontrollera återigen med Google.

Kalkylator

Om du behöver räkna ut en logaritm kan du använda vår kalkylator för logaritmer 🧮.