Fonction logarithme

La fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle.

Qu’est-ce qu’un logarithme

La fonction logarithme s’écrit avec le symbole log ; lorsqu’il s’agit du logarithme népérien (voir plus loin), on le note ln. L’expression de base est la suivante :

$$y={\log }_{a}x$$

On lit cela : « logarithme de x de base a ». Cette fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle f(x) = a^x. La valeur de la fonction logarithme s’appelle le logarithme.

Comme la fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle, on a l’équivalence suivante :

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Ainsi, si a^y vaut x, alors le logarithme de x de base a vaut y. Voyons quelques exemples. Considérons la fonction exponentielle f(x) = 2^x. À quoi ressemblerait la fonction réciproque (logarithmique) ? Réponse : f⁻¹(x) = log₂x. Si l’on met trois dans la fonction exponentielle, on obtient : f(3) = 2³ = 8.

Quelle relation doit alors être vraie ? Si l’on met huit dans la fonction réciproque f⁻¹, la fonction logarithme doit renvoyer trois : en effet, le nombre 3 était l’argument de la fonction exponentielle et 8 était le résultat. La fonction réciproque fonctionne à l’envers : l’entrée est 8 et la sortie est 3.

Ainsi, si l’on écrit 2³ = 8, la fonction logarithme donne la relation log₂8 = 3. Qu’est-ce donc qu’un logarithme ? Le logarithme est l’exposant auquel il faut élever la base pour obtenir l’argument x.

Fonctions logarithmes importantes

Certaines fonctions logarithmes sont particulièrement importantes. C’est le cas du « logarithme népérien », qui a pour base le nombre d’Euler, noté e. C’est un nombre irrationnel, c’est-à-dire un nombre dont le développement décimal est infini et non périodique. Sa valeur approchée est : e = 2,718 281 828…. Le logarithme népérien s’écrit log_ex ou plus simplement ln x. Le « n » vient du latin « logarithmus naturalis » ; pour le retenir, pense à l’anglais « natural », qui signifie « naturel ».

Un autre logarithme important est le « logarithme décimal », noté log, c’est-à-dire la fonction logarithme de base dix. On le note en général log₁₀x ou simplement log x. Lorsque la base n’est pas indiquée, on suppose qu’elle vaut 10.

Propriétés de la fonction logarithme

Nous savons déjà que la fonction logarithme est la réciproque de la fonction exponentielle. Elle en hérite donc certaines propriétés et restrictions. Nous savons que la fonction exponentielle a la forme f(x) = a^x, où a est un nombre réel strictement positif et différent de 1. Par conséquent, la base a du logarithme doit elle aussi être strictement positive et différente de 1. Voici donc une nouvelle fois l’écriture de la fonction logarithme :

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Comme il s’agit d’une fonction réciproque, nous connaissons aussi son ensemble de définition et son ensemble image. L’ensemble de définition de la fonction logarithme est le même que l’ensemble image de la fonction exponentielle ; il est donc égal à ]0 ; +∞[. L’ensemble image du logarithme est alors le même que l’ensemble de définition de la fonction exponentielle, c’est-à-dire l’ensemble de tous les nombres réels.

Graphes des fonctions logarithmes

Comme pour la fonction exponentielle, il faut distinguer deux cas : lorsque la base a appartient à l’intervalle ]0 ; 1[ et lorsqu’elle appartient à ]1 ; +∞[. Dans le premier cas, c’est-à-dire lorsque a appartient à ]0 ; 1[, le graphe ressemble à ceci :

Lorsque la base a appartient à ]1 ; +∞[, le graphe ressemble à ceci :

Observe encore le graphe de la fonction exponentielle et de sa réciproque, la fonction logarithme, sur un même repère (le logarithme est en bleu, la fonction exponentielle en rouge) :

Pourquoi les graphes passent par le point (1 ; 0)

Les deux graphes coupent l’axe des abscisses au point d’abscisse x = 1. C’est normal, puisque toute fonction exponentielle passe par le point (0 ; 1). Comme le logarithme est la fonction réciproque, cette fonction doit toujours passer par le point (1 ; 0). C’est logique. Si le graphe passe par le point (1 ; 0), cela signifie que pour l’entrée x = 1, la sortie vaut f(x) = 0.

Pour les logarithmes, cela signifie que l’on cherche l’exposant auquel il faut élever la base pour obtenir un. Quel est cet exposant ? Seulement zéro. Tout nombre à la puissance zéro vaut un ; ainsi, quelle que soit la base, la fonction logarithme passe par le point (1 ; 0), car tout nombre élevé à la puissance zéro vaut un. (Remarque : n’oublions pas que la base ne peut pas être n’importe quoi : a>0 et a ≠ 1.)

Règles de calcul des logarithmes (formules)

Voici quelques relations et formules importantes concernant les logarithmes :

Supposons que la base a soit bien une base de logarithme, c’est-à-dire a>0 et a ≠ 1. Soient x₁ et x₂ deux nombres réels strictement positifs quelconques. Alors :

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Certaines relations découlent directement de la définition du logarithme :

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Exprimer un logarithme quelconque à l’aide du logarithme népérien

Il arrive que la calculatrice ne propose pas de logarithme de base quelconque, mais seulement le logarithme népérien et le logarithme décimal. Que faire si tu dois calculer un logarithme d’une autre base ? Une formule peut t’aider. On a en effet :

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Si l’on choisit pour b le nombre d’Euler, on obtient la formule :

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

Dans le premier chapitre, nous devions calculer le logarithme de 8 de base 2. On peut le calculer à l’aide du logarithme népérien ainsi :

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Tu n’es toutefois pas obligé d’utiliser le logarithme népérien : tu peux tout aussi bien prendre le logarithme décimal, la formule le permet. Ainsi, on a également :

$${\log }_{2}8=\frac{\log 8}{\log 2}=3$$

(N’oublie pas que, si la base n’est pas indiquée, on suppose qu’elle vaut a = 10.)