Logarithmusfunktionen

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Was ist ein Logarithmus

Die Logarithmusfunktion schreiben wir mit dem Wort log; handelt es sich um den natürlichen Logarithmus (siehe unten), bezeichnen wir ihn mit ln. Die Grundform der Logarithmusfunktion sieht so aus:

$$y={\log }_{a}x$$

Diese Schreibweise lesen wir: „Logarithmus von x zur Basis a“. Diese Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x) = a^x. Der Funktionswert der Logarithmusfunktion heißt Logarithmus.

Weil die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, muss die folgende Äquivalenz gelten:

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Wenn also a^y gleich x ist, dann ist der Logarithmus von x zur Basis a gleich y. Wir zeigen das an einigen Beispielen. Nehmen wir die Exponentialfunktion f(x) = 2^x. Wie sieht die Umkehrfunktion (Logarithmusfunktion) aus? So: f⁻¹(x) = log₂x. Setzen wir in die Exponentialfunktion die Drei ein, erhalten wir: f(3) = 2³ = 8.

Welche Beziehung muss jetzt gelten? Setzen wir in die Umkehrfunktion f⁻¹ die Acht ein, muss die Logarithmusfunktion die Drei zurückgeben. Denn die Zahl 3 war das Argument der Exponentialfunktion und die Zahl 8 das Ergebnis. Die Umkehrfunktion verhält sich umgekehrt: Die Eingabe ist die Zahl 8 und die Ausgabe die Zahl 3. Dass es wirklich so ist, kannst du vorerst zum Beispiel mit Google überprüfen (bei Google bezeichnet lg den Logarithmus zur Basis zwei).

Wenn wir also 2³ = 8 schreiben, liefert uns die logarithmische Umkehrfunktion die Beziehung log₂8 = 3. Was ist also ein Logarithmus? Der Logarithmus ist der Exponent, mit dem wir die Basis potenzieren müssen, um das Argument x zu erhalten.

Wichtige Logarithmusfunktionen

Einige Logarithmusfunktionen sind besonders wichtig. Konkret geht es um den „natürlichen Logarithmus“, dessen Basis die eulersche Zahl ist. Wir bezeichnen sie mit dem Buchstaben e. Es handelt sich um eine irrationale Zahl, also eine Zahl mit unendlicher, nichtperiodischer Dezimaldarstellung. Ihr Näherungswert ist: e = 2,718 281.828…. Den natürlichen Logarithmus schreiben wir entweder als log_ex oder einfacher als ln x. Das „n“ steht für das lateinische „logarithmus naturalis“, aber zum Merken reicht dir das Englische, wo es ähnlich ist: „natural“ = „natürlich“.

Ein weiterer bedeutender Logarithmus ist der „dekadische Logarithmus“ (Zehnerlogarithmus), das ist die Logarithmusfunktion zur Basis zehn. Üblicherweise schreiben wir ihn entweder als log₁₀x oder nur als lg x. Ist bei einem Logarithmus keine Basis angegeben, ist die Basis 10 gemeint.

Eigenschaften der Logarithmusfunktion

Wie wir schon wissen, ist die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Dadurch übernimmt sie auch einige ihrer Eigenschaften und Einschränkungen. Wir wissen, dass die Exponentialfunktion die Form f(x) = a^x hat, wobei a eine reelle Zahl ist, die größer als null und ungleich eins ist. Daher muss auch die Basis a des Logarithmus größer als null und ungleich eins sein. Hier also noch einmal die Schreibweise der Logarithmusfunktion:

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Da es sich um eine Umkehrfunktion handelt, kennen wir auch schon die Definitionsmenge und die Wertemenge. Die Definitionsmenge der Logarithmusfunktion ist dieselbe wie die Wertemenge der Exponentialfunktion, also ist die Definitionsmenge der Logarithmusfunktion gleich ]0; +∞[. Die Wertemenge des Logarithmus ist dann dieselbe wie die Definitionsmenge der Exponentialfunktion, also die Menge aller reellen Zahlen.

Graphen von Logarithmusfunktionen

Ähnlich wie bei der Exponentialfunktion müssen wir zwei Fälle unterscheiden: Die Basis a liegt im Intervall ]0; 1[ oder im Intervall ]1; +∞[. Im ersten Fall, also wenn a im Intervall ]0; 1[ liegt, sieht der Graph so aus:

Liegt die Basis a im Intervall ]1; +∞[, sieht der Graph so aus:

Sieh dir noch den Graphen der Exponentialfunktion und der dazu inversen Logarithmusfunktion in einem Koordinatensystem an (blau ist der Logarithmus, rot die Exponentialfunktion):

Warum die Graphen durch den Punkt (1 ∣ 0) verlaufen

Beide Graphen schneiden die x-Achse im Punkt x = 1. Das ist in Ordnung, denn jede Exponentialfunktion verläuft durch den Punkt (0 ∣ 1). Da der Logarithmus die Umkehrfunktion ist, muss diese Funktion immer durch den Punkt (1 ∣ 0) verlaufen. Das hat seine Logik. Verläuft der Graph durch den Punkt (1 ∣ 0), bedeutet das, dass wir für die Eingabe x = 1 die Ausgabe f(x) = 0 erhalten.

Bei Logarithmen heißt das, dass wir den Exponenten suchen, mit dem wir die Basis potenzieren müssen, um eins zu erhalten. Welcher Exponent ist das? Nur die Null. Alles hoch null ist eins, deshalb verläuft die Logarithmusfunktion bei jeder Basis durch den Punkt (1 ∣ 0), denn alles hoch null ist eins. (Anmerkung: Vergiss nicht, dass die Basis nicht völlig beliebig sein darf: a>0 und a ≠ 1.)

Logarithmengesetze (Formeln)

Es folgen einige wichtige Beziehungen und Formeln, die wir über Logarithmen sagen können:

Wir nehmen an, dass a wirklich die Basis eines Logarithmus ist, also a>0, a ≠ 1. Weiter seien x₁ und x₂ beliebige positive reelle Zahlen. Dann gilt:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Einige Beziehungen, die direkt aus der Definition des Logarithmus folgen:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Wie man mit dem natürlichen Logarithmus einen anderen Logarithmus ausdrückt

Manchmal haben wir zum Beispiel auf dem Taschenrechner keinen Logarithmus zu einer beliebigen Basis zur Verfügung, sondern nur den natürlichen und den dekadischen. Was tun, wenn du einen Logarithmus zu einer anderen Basis berechnen musst? Dafür gibt es eine Formel, die dir hilft. Es gilt nämlich:

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Wählen wir für b die eulersche Zahl, erhalten wir die Formel:

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

Im ersten Kapitel mussten wir den Logarithmus der Zahl 8 zur Basis 2 berechnen. Mit dem natürlichen Logarithmus können wir das so berechnen:

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Die Rechnung können wir wieder mit Google kontrollieren. Du musst aber nicht den natürlichen Logarithmus verwenden, du kannst genauso gut den dekadischen nehmen, die Formel erlaubt das. Es gilt also genauso:

$${\log }_{2}8=\frac{\lg 8}{\lg 2}=3$$

(Vergiss nicht, dass bei diesem Logarithmus die Basis a = 10 ist.) Wieder eine Kontrolle mit Google.