Logaritmifunktio

Logaritmifunktio on käänteisfunktio eksponenttifunktiolle.

Mikä logaritmi on

Logaritmifunktiota merkitään log_a, ja luonnollista logaritmia (ks. jäljempänä) merkitään ln. Logaritmifunktion peruslauseke on tämä:

$$y={\log }_{a}x$$

Tämä merkintä luetaan: ”luvun x a-kantainen logaritmi”. Tämä logaritmifunktio on käänteisfunktio eksponenttifunktiolle f(x) = a^x. Logaritmifunktion arvoa kutsutaan logaritmiksi.

Koska logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio, täytyy päteä seuraava ekvivalenssi:

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Jos siis arvo a^y on x, luvun x a-kantainen logaritmi on y. Havainnollistetaan asiaa muutamalla esimerkillä. Olkoon eksponenttifunktio f(x) = 2^x. Miltä käänteisfunktio (logaritmifunktio) näyttäisi? Tältä: f⁻¹(x) = log₂x. Kun eksponenttifunktioon sijoitetaan kolme, saadaan: f(3) = 2³ = 8.

Mikä yhteys nyt täytyy päteä? Täytyy päteä, että kun käänteisfunktioon f⁻¹ syötetään kahdeksan, logaritmifunktion täytyy palauttaa kolme. Luku 3 oli eksponenttifunktion argumentti ja luku 8 oli tulos. Käänteisfunktio toimii päinvastoin: syötteenä on luku 8 ja tuloksena luku 3.

Kun siis kirjoitetaan 2³ = 8, käänteinen logaritmifunktio antaa yhteyden log₂8 = 3. Mikä logaritmi siis on? Logaritmi on eksponentti, johon kantaluku täytyy korottaa, jotta saadaan argumentti x.

Tärkeät logaritmifunktiot

Jotkin logaritmifunktiot ovat erityisen tärkeitä. Kyse on erityisesti ”luonnollisesta logaritmista”, jonka kantalukuna on Neperin luku. Sitä merkitään kirjaimella e. Se on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on ääretön ja jaksoton. Sen likiarvo on: e = 2,718 281 828…. Luonnollinen logaritmi kirjoitetaan joko log_ex tai yksinkertaisemmin ln x. Kirjain ”n” tulee latinan sanoista ”logarithmus naturalis”, mutta muistamiseen riittää englanti, jossa sana on samankaltainen: ”natural” = ”luonnollinen”.

Toinen merkittävä logaritmi on ”kymmenkantainen logaritmi”, joka on logaritmifunktio, jonka kantaluku on kymmenen. Tavallisesti se kirjoitetaan joko log₁₀x tai lyhyemmin lg x. Merkintä lg tarkoittaa siis aina kantalukua 10.

Logaritmifunktion ominaisuudet

Kuten jo tiedetään, logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Siksi se perii myös joitakin sen ominaisuuksia ja rajoituksia. Tiedetään, että eksponenttifunktion muoto on f(x) = a^x, jossa a on reaaliluku, joka on suurempi kuin nolla ja erisuuri kuin yksi. Siksi myös logaritmin kantaluvun a täytyy olla suurempi kuin nolla ja erisuuri kuin yksi. Kirjoitetaan vielä kerran logaritmifunktion lauseke:

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Koska kyse on käänteisfunktiosta, määrittelyjoukko ja arvojoukko tunnetaan jo. Logaritmifunktion määrittelyjoukko on sama kuin eksponenttifunktion arvojoukko, joten logaritmifunktion määrittelyjoukko on ]0, ∞[. Logaritmin arvojoukko on puolestaan sama kuin eksponenttifunktion määrittelyjoukko eli kaikkien reaalilukujen joukko.

Logaritmifunktioiden kuvaajat

Samoin kuin eksponenttifunktiolla on erotettava kaksi tapausta. Kun kantaluku a kuuluu välille ]0, 1[ ja kun se kuuluu välille ]1, ∞[. Ensimmäisessä tapauksessa eli kun a kuuluu välille ]0, 1[, kuvaaja näyttää tältä:

Kun kantaluku a kuuluu välille ]1, ∞[, kuvaaja näyttää tältä:

Tutustu vielä eksponenttifunktion ja sen käänteisfunktion eli logaritmifunktion kuvaajiin samassa kuvassa (sininen on logaritmi, punainen eksponenttifunktio):

Miksi kuvaajat kulkevat pisteen (1, 0) kautta

Molemmat kuvaajat leikkaavat x-akselin pisteessä x = 1. Se on aivan oikein, koska jokainen eksponenttifunktio kulkee pisteen (0, 1) kautta. Koska logaritmi on käänteisfunktio, tämän funktion täytyy aina kulkea pisteen (1, 0) kautta. Tämä on loogista. Jos kuvaaja kulkee pisteen (1, 0) kautta, se tarkoittaa, että funktion syötteellä x = 1 saadaan tulos f(x) = 0.

Logaritmien tapauksessa se tarkoittaa, että etsitään eksponenttia, johon kantaluku on korotettava, jotta saadaan yksi. Mikä eksponentti se on? Vain nolla. Mikä tahansa luku potenssiin nolla on yksi, joten kantaluku voi olla mikä tahansa, ja logaritmifunktio kulkee silti pisteen (1, 0) kautta, koska mikä tahansa luku potenssiin nolla on yksi. (Huomautus: älä unohda, ettei kantaluku voi olla ihan mikä tahansa: a>0 ja a ≠ 1.)

Logaritmien laskusäännöt (kaavat)

Seuraavassa on joitakin tärkeitä yhteyksiä ja kaavoja, jotka logaritmeista voidaan sanoa:

Oletetaan, että kantaluku a on todella logaritmin kantaluku, eli a>0, a ≠ 1. Olkoot lisäksi x₁ ja x₂ mitkä tahansa positiiviset reaaliluvut. Silloin pätee:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+}\end{array}$$

Joitakin yhteyksiä, jotka seuraavat suoraan logaritmin määritelmästä:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Miten toinen logaritmi ilmaistaan luonnollisen logaritmin avulla

Joskus esimerkiksi laskimessa ei ole käytettävissä mielivaltaisen kantaluvun logaritmia vaan pelkästään luonnollinen ja kymmenkantainen logaritmi. Mitä tehdä, jos pitää laskea toisen kantaluvun logaritmi? On olemassa kaava, joka auttaa. Pätee nimittäin:

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Kun b:n arvoksi valitaan Neperin luku, saadaan kaava:

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

Ensimmäisessä luvussa tarvittiin luvun 8 2-kantainen logaritmi. Se voidaan laskea luonnollisen logaritmin avulla näin:

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Luonnollista logaritmia ei kuitenkaan tarvitse käyttää, voi käyttää yhtä hyvin kymmenkantaista, kaava sallii sen. Pätee siis yhtä hyvin:

$${\log }_{2}8=\frac{\lg 8}{\lg 2}=3$$

(Muista, että lg on kymmenkantainen logaritmi eli sen kantaluku on a = 10.)

Laskin

Jos tarvitset logaritmin laskemiseen apua, voit käyttää tämän sivuston logaritmilaskinta 🧮.