Logaritmefunksjoner

Logaritmefunksjonen er den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen.

Hva en logaritme er

Vi skriver logaritmefunksjonen med log_a. Den naturlige logaritmen (se nedenfor) skriver vi ln. Funksjonsuttrykket til logaritmefunksjonen ser slik ut:

$$y={\log }_{a}x$$

Vi leser dette: «Logaritmen til tallet x med grunntall a». Denne logaritmefunksjonen er invers til eksponentialfunksjonen f(x) = a^x. Funksjonsverdien til logaritmefunksjonen kalles en logaritme.

Siden logaritmefunksjonen er invers til eksponentialfunksjonen, må følgende ekvivalens gjelde:

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Altså, hvis verdien a^y er lik x, er logaritmen til x med grunntall a lik y. Vi viser noen eksempler. La oss ha eksponentialfunksjonen f(x) = 2^x. Hvordan ville den inverse funksjonen (logaritmefunksjonen) sett ut? Slik: f⁻¹(x) = log₂x. Hvis vi setter inn tre i eksponentialfunksjonen, får vi: f(3) = 2³ = 8.

Hvilken sammenheng må da gjelde? Hvis vi legger inn åtte i den inverse funksjonen f⁻¹, må logaritmefunksjonen gi oss tre tilbake. Tallet 3 var nemlig argumentet til eksponentialfunksjonen, og tallet 8 var resultatet. Den inverse funksjonen virker motsatt: input er tallet 8, og output er tallet 3.

Når vi skriver 2³ = 8, gir den inverse logaritmefunksjonen oss sammenhengen log₂8 = 3. Hva er altså en logaritme? En logaritme er eksponenten vi må opphøye grunntallet i for å få argumentet x.

Viktige logaritmefunksjoner

Noen logaritmefunksjoner er særlig viktige. Det gjelder først og fremst den «naturlige logaritmen», som har Eulers tall som grunntall. Det skriver vi med bokstaven e. Det er et irrasjonalt tall, altså et tall med en uendelig, ikke-periodisk desimalutvikling. Den omtrentlige verdien er: e = 2,718 281 828…. Den naturlige logaritmen skriver vi enten log_ex eller enklere ln x. Bokstaven «n» kommer fra latin «logarithmus naturalis», men for å huske den holder det med norsk: «naturlig logaritme».

En annen viktig logaritme er «tierlogaritmen», som er logaritmefunksjonen med grunntall ti. Vanligvis skriver vi den enten log₁₀x eller bare lg x. Når det ikke står noe grunntall ved logaritmen, forutsetter vi grunntall 10.

Egenskaper ved logaritmefunksjonen

Som vi allerede vet, er logaritmefunksjonen invers til eksponentialfunksjonen. Dermed overtar den også noen av egenskapene og begrensningene til eksponentialfunksjonen. Vi vet at eksponentialfunksjonen har formen f(x) = a^x, der a er et reelt tall som er større enn null og forskjellig fra én. Derfor må også grunntallet a til logaritmen være større enn null og forskjellig fra én. Her er funksjonsuttrykket til logaritmefunksjonen én gang til:

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Siden dette er en invers funksjon, kjenner vi allerede definisjonsmengden og verdimengden. Definisjonsmengden til logaritmefunksjonen er den samme som verdimengden til eksponentialfunksjonen, så definisjonsmengden til logaritmefunksjonen er lik ⟨0, → ⟩. Verdimengden til logaritmen er den samme som definisjonsmengden til eksponentialfunksjonen, altså mengden av alle reelle tall.

Grafer til logaritmefunksjoner

På samme måte som for eksponentialfunksjonen må vi skille mellom to tilfeller: når grunntallet a ligger i intervallet ⟨0, 1⟩, og når det ligger i intervallet ⟨1, → ⟩. I det første tilfellet, altså når a ligger i intervallet ⟨0, 1⟩, ser grafen slik ut:

Hvis grunntallet a ligger i intervallet ⟨1, → ⟩, ser grafen slik ut:

Se også grafen til eksponentialfunksjonen og den inverse logaritmefunksjonen i samme koordinatsystem (blå er logaritmen, rød er eksponentialfunksjonen):

Hvorfor grafene går gjennom punktet (1, 0)

Begge grafene skjærer x-aksen i punktet x = 1. Det er i orden, siden hver eksponentialfunksjon går gjennom punktet (0, 1). Siden logaritmen er den inverse funksjonen, må denne funksjonen alltid gå gjennom punktet (1, 0). Det er logisk. Hvis grafen går gjennom punktet (1, 0), betyr det at inputverdien x = 1 gir outputverdien f(x) = 0.

For logaritmer betyr det at vi leter etter eksponenten som gir én når vi opphøyer grunntallet i den. Hvilken eksponent er det? Bare null. Alt opphøyd i null er én, og derfor går logaritmefunksjonen gjennom punktet (1, 0) uansett grunntall. (Merk: husk at grunntallet ikke kan være helt hva som helst: a>0 og a ≠ 1.)

Logaritmesetningene (formler)

Her følger noen viktige sammenhenger og formler vi kan si om logaritmer:

Anta at grunntallet a virkelig er grunntall i en logaritme, altså a>0, a ≠ 1. La videre x₁ og x₂ være vilkårlige positive reelle tall. Da gjelder:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Noen sammenhenger som følger direkte av definisjonen av logaritme:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Hvordan du uttrykker en annen logaritme ved hjelp av den naturlige logaritmen

Av og til skjer det at vi for eksempel på kalkulatoren ikke har en logaritme med vilkårlig grunntall, men bare den naturlige logaritmen og tierlogaritmen. Hva gjør du hvis du må regne ut en logaritme med et annet grunntall? Det finnes en formel som hjelper deg. Det gjelder nemlig at:

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Hvis vi velger Eulers tall som verdi for b, får vi formelen:

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

I det første kapittelet trengte vi å regne ut logaritmen til tallet 8 med grunntall 2. Det kan vi regne ut med den naturlige logaritmen slik:

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Du trenger ikke bruke den naturlige logaritmen, du kan gjerne bruke tierlogaritmen, for formelen tillater det. Det gjelder altså også:

$${\log }_{2}8=\frac{\lg 8}{\lg 2}=3$$

(Husk at hvis grunntallet ikke er oppgitt, forutsetter vi grunntallet a = 10.)

Kalkulator

Hvis du trenger å regne ut en logaritme, kan du bruke logaritmekalkulatoren vår 🧮.