Logaritmische functies

De logaritmische functie is de inverse functie van de exponentiële functie.

Wat is een logaritme

De logaritmische functie schrijven we met het woord log, en als het gaat om de natuurlijke logaritme (zie verderop), noteren we die als ln. Het basisvoorschrift van de logaritmische functie ziet er zo uit:

$$y={}^a\text{logx}$$

Deze notatie lezen we als: “De logaritme van het getal x met grondtal a”. Deze logaritmische functie is de inverse van de exponentiële functie f(x) = a^x. De functiewaarde van de logaritmische functie heet de logaritme.

Omdat de logaritmische functie de inverse is van de exponentiële functie, moet de volgende equivalentie gelden:

$$y={}^a\text{logx}\iff a^y=x$$

Dus als de waarde a^y gelijk is aan x, dan is de logaritme van x met grondtal a gelijk aan y. We laten een paar voorbeelden zien. Neem de exponentiële functie f(x) = 2^x. Hoe zou de inverse (logaritmische) functie eruitzien? Zo: $f^{-1}(x)={}^2\text{logx}$. Als we in de exponentiële functie een drie invullen, krijgen we: f(3) = 2³ = 8.

Welk verband moet er nu gelden? Er moet gelden dat als we in de inverse functie f⁻¹ een acht stoppen, de logaritmische functie ons een drie moet teruggeven. Want het getal 3 was het argument van de exponentiële functie en het getal 8 was de uitkomst. De inverse functie gedraagt zich omgekeerd, de invoer is het getal 8 en de uitvoer is het getal 3.

Als we dus 2³ = 8 schrijven, geeft de inverse logaritmische functie ons het verband: {}²log 8 = 3. Wat is dus een logaritme? De logaritme is de exponent waartoe we het grondtal moeten verheffen om het argument x te krijgen.

Belangrijke logaritmische functies

Sommige logaritmische functies zijn bijzonder belangrijk. Het gaat met name om de “natuurlijke logaritme”, die als grondtal het getal van Euler heeft. Dat noteren we met de letter e. Het is een irrationaal getal, dus een getal met een oneindige, niet-repeterende decimale ontwikkeling. De benaderde waarde ervan is: e = 2,718 281 828…. De natuurlijke logaritme schrijven we als ${}^e\text{logx}$ of eenvoudiger als ln x. De letter “n” komt van het Latijnse “logarithmus naturalis”, maar om het te onthouden is de Nederlandse naam genoeg: “natuurlijke logaritme”.

Een andere belangrijke logaritme is de “tientallige logaritme”, de logaritmische functie met grondtal tien. Die schrijven we gewoonlijk als ${}^{10}\text{logx}$ of alleen log x. Als bij een logaritme geen grondtal staat, wordt grondtal 10 aangenomen.

Eigenschappen van de logaritmische functie

Zoals we al weten, is de logaritmische functie de inverse van de exponentiële functie. Daardoor neemt ze ook enkele van haar eigenschappen en beperkingen over. We weten dat de exponentiële functie de vorm f(x) = a^x heeft, waarbij a een reëel getal is dat groter is dan nul en ongelijk aan één. Daardoor moet ook het grondtal van de logaritme a groter zijn dan nul en ongelijk aan één. Nog een keer de schrijfwijze van de logaritmische functie dus:

$$y={}^a\text{logx},a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Omdat het om een inverse functie gaat, kennen we ook al het domein en het bereik. Het domein van de logaritmische functie is gelijk aan het bereik van de exponentiële functie, dus het domein van de logaritmische functie is gelijk aan ⟨0, → ⟩. Het bereik van de logaritme is dan gelijk aan het domein van de exponentiële functie, dus de verzameling van alle reële getallen.

Grafieken van logaritmische functies

Net als bij de exponentiële functie moeten we twee gevallen onderscheiden. Als het grondtal a in het interval ⟨0, 1⟩ ligt en als het in het interval ⟨1, → ⟩ ligt. In het eerste geval, dus als a in het interval ⟨0, 1⟩ ligt, ziet de grafiek er zo uit:

Als het grondtal a in het interval ⟨1, → ⟩ ligt, ziet de grafiek er zo uit:

Bekijk ook nog de grafiek van de exponentiële functie en haar inverse logaritmische functie in één grafiek (blauw is de logaritme, rood de exponentiële functie):

Waarom de grafieken door het punt (1, 0) gaan

Beide grafieken snijden de x-as in het punt x = 1. Dat is in orde, omdat elke exponentiële functie door het punt (0, 1) gaat. Omdat de logaritme een inverse functie is, moet deze functie altijd door het punt (1, 0) gaan. Daar zit logica in. Als de grafiek door het punt (1, 0) gaat, betekent dat dat we bij de invoer x = 1 de uitvoer f(x) = 0 hebben.

Bij logaritmen betekent dat dat we de exponent zoeken waartoe we het grondtal moeten verheffen om één te krijgen. Welke exponent is dat? Alleen nul. Alles tot de macht nul is één, dus welk grondtal het ook is, de logaritmische functie gaat door het punt (1, 0), want alles tot de macht nul is één. (Opmerking: vergeet niet dat het grondtal niet zomaar alles kan zijn: a>0 en a ≠ 1.)

Rekenregels voor logaritmen (formules)

Hierna volgen enkele belangrijke relaties en formules die we over logaritmen kunnen zeggen:

Stel dat het grondtal a echt een grondtal van een logaritme is, dus a>0, a ≠ 1. Laat verder x₁ en x₂ willekeurige positieve reële getallen zijn. Dan geldt:

$$\begin{array}{rcl}{}^a\log (x_1\cdot x_2)& =& {}^a\log x_1+{}^a\log x_2\\ {}^a\log \left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {}^a\log x_1-{}^a\log x_2\\ {}^a\log x^r& =& r\cdot {}^a\text{logx}\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {}^a\log \sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{}^a\text{logx}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Enkele relaties die rechtstreeks uit de definitie van de logaritme volgen:

$$\begin{array}{rcl}{}^a\log 1& =& 0(a^0=1)\\ {}^a\text{loga}& =& 1(a^1=a)\\ a^{{}^a\log x}& =& {}^a\log a^x=x\end{array}$$

Hoe je een andere logaritme met de natuurlijke logaritme uitdrukt

Soms komt het voor dat we bijvoorbeeld op een rekenmachine niet de logaritme met een willekeurig grondtal tot onze beschikking hebben, maar alleen de natuurlijke en de tientallige. Wat te doen als je een logaritme met een ander grondtal moet berekenen? Er bestaat een formule die je helpt. Er geldt namelijk:

$${}^a\text{logx}=\frac{{}^b\text{logx}}{{}^b\text{loga}}$$

Als we voor b het getal van Euler kiezen, krijgen we de formule:

$${}^a\text{logx}=\frac{\ln x}{\ln a}$$

In het eerste hoofdstuk moesten we de logaritme van het getal 8 met grondtal 2 berekenen. Dat kunnen we met behulp van de natuurlijke logaritme zo berekenen:

$${}^2\log 8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Je hoeft de natuurlijke logaritme echter niet te gebruiken, je kunt gerust ook de tientallige gebruiken, de formule staat dat toe. Dus er geldt evengoed:

$${}^2\log 8=\frac{\log 8}{\log 2}=3$$

(Vergeet niet dat als er geen grondtal staat, grondtal a = 10 wordt aangenomen.)

Rekenmachine

Als je een logaritme moet berekenen, kun je onze logaritmerekenmachine 🧮 gebruiken.