Polinomlarda Bölme

Polinomlarda bölme kolay olmayan bir işlemdir; polinomları düzenlerken ve sadeleştirirken bu işleme oldukça sık başvurulur.

Birinci Örnek

Polinomlarda bölme, önceki işlemlerle kıyaslandığında epey zor bir konudur. Yine de polinom bölme yöntemi, elle yaptığımız sıradan bölme işlemine oldukça benzer. Algoritmanın tamamını örneklerle göstereceğiz. Basit bir örnekle başlayalım:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

İki polinomun da azalan sırada yazılmış ve düzgünce sadeleştirilmiş olduğunu varsayıyoruz; yani toplayabildiğimiz her şeyi topladık. Bu, algoritma için şart değil ama hesabı kolaylaştırır. İlk adımda birinci polinomun ilk terimini ikinci polinomun ilk terimine böleriz (burada ikinci polinom tek terimli, yani ikinci polinomun ilk terimi ikinci polinomun tamamına eşit). Yani şu işlemi yaparız:

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Bu temel terimlerin bölünmesi çarpmanın tersi gibi yürür, şaşırtıcı bir şey yok. İlk adım olduğu için bunu, hesaplamak istediğimiz asıl ifadeye yazarız:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

ve ikinci adımla devam ederiz. Bulduğumuz geçici sonucu ikinci polinomla, yani böldüğümüz polinomla çarparız.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Bu sonucu birinci polinomun tamamından çıkarırız. Bunu birinci polinomun altına şöyle yazarız:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Şimdi çizginin altında bir sonuç kaldı; bu sonuca da asıl polinoma uyguladığımız yöntemi uygularız. Onu ikinci polinomun ilk terimine böleriz.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Bu sonucu önceki geçici sonuca ekleriz:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Sonra yine geri çarparız: ikinci polinomun tamamını 4 ile çarparız

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

ve çizginin altında kalandan çıkarırız.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Çıkarmadan sonra geriye sıfır kalıyor, algoritma burada sona erer. Sağ tarafta bölmenin sonucu duruyor. Doğrulama yapmak istersek, bulduğumuz polinomu ikinci polinomla çarparız ve birinci polinomu elde etmemiz gerekir.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

İkinci Örnek

Önceki soruyu küçük bir değişiklikle değiştirelim ve şunu hesaplamaya çalışalım:

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Hesap baştan sona önceki örnekteki gibi ilerler; yalnızca her çıkarmadan sonra kalan 7 fazla olur. Kısaca hesap şöyle yürür:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Yöntem değişmedi, yalnızca bir 7 eklendi. Bu adımda yeni farkı (yani 7’yi) ikinci polinoma güzelce bölemeyiz. Sonucu basitçe, 7’nin bu polinoma bölümü olarak yazarız ve ara sonuca ekleriz.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Bunu geri doğru ikinci polinomla çarparsak 7 elde ederiz

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

ve böylece çıkarmadan sonra sıfır kalır.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Algoritma burada biter, sıfıra ulaştık.

Üçüncü Örnek

İkinci polinoma bir terim daha ekleyelim.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

İlk adımda, önceki örneklerdeki gibi birinci polinomun ilk terimini ikincinin ilk terimine böleriz.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

Sonraki adımda bu ara sonucu ikinci polinomun tamamıyla çarparız ve birinci polinomdan çıkarırız.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Bunu bütün işlemin altına düzenli biçimde yazarız.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Devam ederiz: yeni elde ettiğimiz polinomun ilk terimini ikinci polinomun ilk terimine böleriz.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

İkinci polinomun tamamıyla çarparız:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Yazıp çıkarırız:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Bu artık makul bir biçimde bölünemez; bu yüzden kalanın ikinci polinoma bölümünü kesir olarak basitçe ekleriz.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Geri çarpıp çıkarsaydık, önceki örnekte olduğu gibi hemen sıfır bulurduk. Şimdi doğrulama yapalım. Ayrıntılı doğrulamadan önce hızlı bir deneme yapabiliriz: ifadelerde x yerine basit bir değer yazalım, örneğin sıfırı. Bölme sonucunda x yerine sıfır yazarsak şunu buluruz:

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Bölme işlemindeki ifadelerde x yerine sıfır yazarsak şunu buluruz:

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Düzenlememiz doğruysa iki değer de aynı sonucu vermelidir. Gördüğümüz gibi değerler eşit. Bu yöntem tam doğruluğu garanti etmez, çünkü x yerine yazabileceğimiz bütün değerleri denememiz gerekirdi; ama hatayı hızlıca ortaya çıkarabilir. Aynısını bir de 1 ile deneyelim. Sonuçta x yerine 1 yazarsak şunu buluruz:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Asıl ifadelerde x yerine 1 yazarsak şunu buluruz:

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Doğru yoldayız, ama son onay için çarpmanın tamamını yapmamız gerekir.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Bölümler: Polinomlar, Polinomlarda Bölme, Polinomun Kökü, Polinomu Çarpanlarına Ayırma

« Önceki: Polinomlar

Sonraki: Polinomun Kökü »