Διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμο

Η διαίρεση πολυωνύμων είναι μια μη τετριμμένη πράξη, που χρησιμοποιείται σχετικά συχνά στις απλοποιήσεις και στις μετατροπές πολυωνύμων.

Πρώτο παράδειγμα

Η διαίρεση πολυωνύμων είναι αρκετά δύσκολη, τουλάχιστον σε σύγκριση με τις προηγούμενες πράξεις. Ωστόσο η διαδικασία μοιάζει αρκετά με τη συνηθισμένη διαίρεση με το χέρι. Θα δούμε ολόκληρο τον αλγόριθμο σε παραδείγματα. Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό, για παράδειγμα:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2})$

Υποθέτουμε ότι και τα δύο πολυώνυμα είναι διατεταγμένα κατά φθίνουσες δυνάμεις και σωστά απλοποιημένα – δηλαδή ό,τι μπορούσαμε να προσθέσουμε, το προσθέσαμε. Αυτό δεν είναι ουσιώδες για τον αλγόριθμο, αλλά κάνει τους υπολογισμούς πιο εύκολους. Στο πρώτο βήμα διαιρούμε τον πρώτο όρο του πρώτου πολυωνύμου με τον πρώτο όρο του δεύτερου πολυωνύμου (εδώ το δεύτερο πολυώνυμο έχει έναν μόνο όρο, οπότε ο πρώτος όρος του δεύτερου πολυωνύμου είναι ταυτόχρονα ολόκληρο το δεύτερο πολυώνυμο). Δηλαδή εκτελούμε την πράξη

$4 x^{3} / (2 x^{2}) = \frac{4}{2} x^{3 - 2} = 2 x$

Η διαίρεση αυτών των βασικών όρων γίνεται αντίστροφα από τον πολλαπλασιασμό, δεν θα έπρεπε να υπάρχει τίποτα απρόσμενο. Επειδή πρόκειται για το πρώτο βήμα, το γράφουμε στην αρχική παράσταση που θέλουμε να υπολογίσουμε

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x$

και συνεχίζουμε με το δεύτερο βήμα. Πολλαπλασιάζουμε το προσωρινό αποτέλεσμα με το δεύτερο πολυώνυμο, δηλαδή με το πολυώνυμο με το οποίο διαιρούμε.

$2 x \cdot (2 x^{2}) = 4 x^{3}$

Αυτό το αποτέλεσμα το αφαιρούμε από ολόκληρο το πρώτο πολυώνυμο. Το γράφουμε κάτω από το πρώτο πολυώνυμο, κάπως έτσι:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \end{array}$

Τώρα κάτω από τη γραμμή έχει μείνει ένα αποτέλεσμα και σε αυτό εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία όπως στο αρχικό πολυώνυμο. Το διαιρούμε με τον πρώτο όρο του δεύτερου πολυωνύμου.

$8 x^{2} / (2 x^{2}) = 4$

Αυτό το αποτέλεσμα το προσθέτουμε στο προηγούμενο προσωρινό αποτέλεσμα:

$(4 x^{3} + 8 x^{2}) / (2 x^{2}) = 2 x + 4$

Και πάλι πολλαπλασιάζουμε ολόκληρο το δεύτερο πολυώνυμο με το τέσσερα

$(2 x^{2}) \cdot 4 = 8 x^{2}$

και το αφαιρούμε από αυτό που έχει μείνει κάτω από τη γραμμή.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2}) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 0 \end{array}$

Μετά την αφαίρεση μένει μηδέν και ο αλγόριθμος τελειώνει εδώ. Στο δεύτερο μέλος έχουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης. Αν θέλουμε να κάνουμε επαλήθευση, πολλαπλασιάζουμε το πολυώνυμο που προέκυψε με το δεύτερο πολυώνυμο και πρέπει να πάρουμε το πρώτο πολυώνυμο.

$(2 x^{2}) \cdot (2 x + 4) = 4 x^{3} + 8 x^{2}$

Δεύτερο παράδειγμα

Τροποποιούμε ελαφρά την προηγούμενη εκφώνηση και δοκιμάζουμε να υπολογίσουμε

$(4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) / (2 x^{2}) .$

Ο υπολογισμός θα γίνει σε όλη τη διάρκειά του όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, μόνο που μετά από κάθε αφαίρεση το αποτέλεσμα θα είναι κατά επτά μεγαλύτερο. Συνοπτικά, ο υπολογισμός θα πήγαινε έτσι:

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Η διαδικασία δεν άλλαξε, απλώς προστέθηκε το επτά. Σε αυτό το βήμα δεν μπορούμε πια να διαιρέσουμε όμορφα τη νέα διαφορά (το επτά) με το δεύτερο πολυώνυμο. Το αποτέλεσμα απλώς το γράφουμε ως επτά δια το δοσμένο πολυώνυμο και το προσθέτουμε στο ενδιάμεσο αποτέλεσμα.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \end{array}$

Όταν πολλαπλασιάσουμε πάλι με το δεύτερο πολυώνυμο, παίρνουμε το επτά

$(2 x^{2}) \cdot \frac{7}{2 x^{2}} = 7$

και επομένως στη διαφορά παίρνουμε μηδέν.

$\begin{array}{rc} (4 x^{3} + 8 x^{2} + 7) & / (2 x^{2}) = 2 x + 4 + \frac{7}{2 x^{2}} \\ \underset{―}{- (4 x^{3})} \\ 8 x^{2} + 7 \\ \underset{―}{- (8 x^{2})} \\ 7 \\ \underset{―}{- 7} \\ 0 \end{array}$

Ο αλγόριθμος τελειώνει εδώ, φτάσαμε στο μηδέν.

Τρίτο παράδειγμα

Επεκτείνουμε το δεύτερο πολυώνυμο με έναν ακόμη όρο.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5)$

Στο πρώτο βήμα διαιρούμε τον πρώτο όρο του πρώτου πολυωνύμου με τον πρώτο όρο του δεύτερου, όπως στα προηγούμενα παραδείγματα.

$6 x^{7} / 3 x^{3} = 2 x^{4}$

Στο επόμενο βήμα πολλαπλασιάζουμε αυτό το ενδιάμεσο αποτέλεσμα με ολόκληρο το δεύτερο πολυώνυμο και το αφαιρούμε από το πρώτο.

$(3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} = 6 x^{7} + 10 x^{4}$

Το γράφουμε τακτοποιημένα κάτω από ολόκληρο το παράδειγμα.

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \end{array}$

Συνεχίζουμε: διαιρούμε τον πρώτο όρο του νέου πολυωνύμου με τον πρώτο όρο του δεύτερου πολυωνύμου.

$9 x^{4} / 3 x^{3} = 3 x$

Πολλαπλασιάζουμε με ολόκληρο το δεύτερο πολυώνυμο:

$(3 x^{3} + 5) \cdot 3 x = 9 x^{4} + 15 x$

Γράφουμε και αφαιρούμε:

$\begin{array}{rc} (6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) & / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x \\ \underset{―}{- (6 x^{7} + 10 x^{4})} \\ 9 x^{4} + 7 \\ \underset{―}{- (9 x^{4} + 15 x)} \\ - 15 x + 7 \end{array}$

Αυτό δεν μπορεί πια να διαιρεθεί με νόημα, οπότε απλώς προσθέτουμε το κλάσμα των δύο πολυωνύμων.

$(6 x^{7} + 19 x^{4} + 7) / (3 x^{3} + 5) = 2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}$

Αν κάναμε ακόμη τον πολλαπλασιασμό και την αφαίρεση, θα παίρναμε αμέσως μηδέν, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Ας κάνουμε επαλήθευση. Πριν από την πλήρη επαλήθευση μπορούμε να δοκιμάσουμε έναν γρήγορο έλεγχο. Αντικαθιστούμε στις παραστάσεις κάποια τετριμμένη τιμή, για παράδειγμα το μηδέν. Αν στο αποτέλεσμα της διαίρεσης αντικαταστήσουμε το μηδέν, παίρνουμε

$0 + 0 + \frac{0 + 7}{0 + 5} = \frac{7}{5} .$

Αν αντικαταστήσουμε το μηδέν στις παραστάσεις που διαιρούμε, παίρνουμε

$(0 + 0 + 7) / (0 + 5) = \frac{7}{5} .$

Αν η πράξη μας είναι σωστή, οι δύο τιμές πρέπει να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Όπως βλέπουμε, οι τιμές είναι ίσες. Αυτή η μέθοδος δεν εγγυάται την πλήρη ορθότητα, θα έπρεπε να δοκιμάσουμε όλες τις δυνατές τιμές που μπορούμε να αντικαταστήσουμε στη θέση του x, αλλά μπορεί αντίθετα να αποκαλύψει γρήγορα ένα λάθος. Ας δοκιμάσουμε το ίδιο και με το ένα. Αντικαθιστούμε στο αποτέλεσμα και παίρνουμε:

$2 + 3 + \frac{- 15 + 7}{3 + 5} = 5 - \frac{8}{8} = 4.$

Αντικαθιστούμε στις αρχικές παραστάσεις και παίρνουμε

$(6 + 19 + 7) / (3 + 5) = \frac{32}{8} = 4.$

Είμαστε σε καλό δρόμο, αλλά για την τελική επιβεβαίωση πρέπει να κάνουμε ολόκληρο τον πολλαπλασιασμό.

$\begin{array}{rcl} (3 x^{3} + 5) \cdot (2 x^{4} + 3 x + \frac{- 15 x + 7}{3 x^{3} + 5}) & = & (3 x^{3} + 5) \cdot 2 x^{4} + (3 x^{3} + 5) \cdot 3 x + (- 15 x + 7) \\ = & 6 x^{7} + 10 x^{4} + 9 x^{4} + 15 x - 15 x + 7 \\ = & 6 x^{7} + 19 x^{4} + 7 \end{array}$

Κεφάλαια: Πολυώνυμα, Διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμο, Ρίζα πολυωνύμου, Παραγοντοποίηση πολυωνύμων

« Προηγούμενο: Πολυώνυμα

Επόμενο: Ρίζα πολυωνύμου »